点集拓扑
起源
点集拓扑学产生于19世纪。G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。
理论内容
泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，更促进了把点集当作空间来研究。数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题。为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合"邻近"的概念。[1]
如何描述"邻近"，可以用"距离"，但"距离"与"邻近"并无必然的联系。1914年F.豪斯道夫开始考虑用"邻域"来定义拓扑。对一个非空的集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组邻域公理(即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质)。该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域 。
这就给出了X的一个拓扑结构。X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间。X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念。若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射。具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的(直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个)。
要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可。在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚;任意两开区间同胚;半开半闭的区间[c，d]与[a,b]同胚。二维球面挖去一个点s2-p与欧几里得平面K2同胚。要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射。
方法是找同胚不变量或拓扑不变性(即在同胚映射下保持不变的性质);第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚。一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等(见拓扑空间)。
在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间;弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系;L.S.乌雷松对紧空间进行了系统研究 ，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献 ;1937年H.嘉当引进了"滤子"的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来;维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线(一种可填满整个正方形的"曲线")时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进。[2]