真值表
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中文名: 真值表 外文名: truth table 別 名: 邏輯真值表 學 科: 數理邏輯 應 用: 計算機、通信 作 用: 確定一個表達式是否為真或有效 |
表徵邏輯事件輸入和輸出之間全部可能狀態的表格。列出命題公式真假值的表。通常以1表示真，0 表示假。命題公式的取值由組成命題公式的命題變元的取值和命題聯結詞決定，命題聯結詞的真值表給出了真假值的算法。 真值表是在邏輯中使用的一類數學表，用來確定一個表達式是否為真或有效。 (表達式可以是論證；就是說，表達式的合取，它的每個結合項(conjunct)都是最後要做的結論的一個前提。)[1]
目錄
離散數學定義
真值表是含n(n組賦值將命題公式A在所有賦值之下取值的情況列成表，稱為A的真值表。 構造真值表步驟 找出命題公式中所含的所有命題變項（若無下角標就按字典順序給出），列出所有的可能的賦值（）； 按從低到高的順序寫出各層次； 對應每個賦值，計算命題公式各層次的值，直到最後計算出命題公式的值。
真值表的發展
發明真值表是用來在弗雷格、羅素等人開發的命題演算上工作的。它是在1917年年由維特根斯坦首次和1921年由 Emil Post 獨立發明的。真值表最初是作為一項邏輯矩陣的發現而產生的，十九世紀卓越的邏輯學家，美國人查爾士·山德爾斯·皮爾士以這項邏輯矩陣的發現為命題邏輯現代系統做出了重大貢獻。維特根斯坦的邏輯哲學論使用它們把真值函數置於序列中。這個著作的廣泛影響導致了真值表的傳播。 真值表被用來計算真值泛函表達式的值(就是說是一個判定過程)。真值泛函表達式要麼是原子(就是說是命題變量(或占位符)或命題函數 - 比如 Px)或建造自使用邏輯運算符(就是說 ∧ (AND)，∨ (OR)，¬ (NOT) - 例如 Fx & Gx)的原子公式。 真值表中的列標題展示了 (i) 命題函數與/或變量，和 (ii) 建造自這些命題函數或變量和運算符的真值泛函表達式。行展示對 (i) 和 (ii) 的 T 或 F 指派的每個可能的求值。換句話說，每行都是對 (i) 和 (ii) 的不同解釋。
實例
經典(就是說二值)邏輯的真值表限定於只有兩個真值是可能的布爾邏輯系統，它們是真或假，通常在表中簡單的表示為 T 和 F。 舉例：用真值表方法回答：丁的話是否成立？為什麼？ 甲：只有小王不上場，小李才上場。 乙：如果小王上場，則小李上場。 丙：小王上場，當且僅當小李不上場。 丁：甲、乙、丙的話都不對。 解答：列表： p q —p<-q p->q p<->—q 真 真 假 真 假 真 假 真 假 真 假 真 真 真 真 假 假 真 真 假 由表可知，丁的話不能成立，因為甲、乙、丙三人的話不可能同時為假。 分析：以往的真值表解題，大都是要求判定兩個判斷是否等值或是否矛盾。近來，一些真值表解題的要求有所改變，增加了試題考核的能力與難度層次。本例題就是一種類型。題目要求判定「丁的話是否成立」，實質上是要判定甲、乙、丙的話能否同假。 此類題目往往以自然語句出現，又規定了要用真值表方法解題，所以答題時的要領有以下幾個：一是把自然語句正確形式化，二是準確列出真值表，尤其是要小心求出判斷的真值，三是根據真值表作出判斷。 實例 2： 如果他是理科學生，他必學好數學。如果他不是文科 學生，他必是理科學生。他沒有學好數學。所以他是文科學生。 試用真值表法判斷此推理是否有效？ 解：設 P：他是理科學生，Q：他學好數學，R：他是文科學 生，則該命題推理的前提是：P → Q，┐ R → P，┐ Q；結論是： R。於是，此題可以表述為：（P → Q）∧（┐ R → P）∧┐ Q R。 下面用真值表法來判斷此命題是否有效。（設 E=（P → Q）∧ （┐ R → P）∧┐ Q）由上表知，當命題（P → Q）∧（┐ R → P）∧┐ Q 的真 值為 1 時，R 的真值也是 1，所以，（P → Q）∧（┐ R → P） ∧┐ Q → R 是重言式，故該推理是有效的。