線性規劃
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中文名:線性規劃 外文名:linear programming 所屬學科:運籌學 研究內容:線性最優化問題 |
線性規劃（Linear programming,簡稱LP），是運籌學中研究較早、發展較快、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，是輔助人們進行科學管理的一種數學方法，是研究線性約束條件下線性目標函數的極值問題的數學理論和方法。
線性規劃是運籌學的一個重要分支，廣泛應用於軍事作戰、經濟分析、經營管理和工程技術等方面。為合理地利用有限的人力、物力、財力等資源作出的最優決策，提供科學的依據。
目錄
線性規劃簡介
數學模型
（1）列出約束條件及目標函數
（2）畫出約束條件所表示的可行域
（3）在可行域內求目標函數的最優解及最優值
標準型
描述線性規劃問題的常用和最直觀形式是標準型。標準型包括以下三個部分：
一個需要極大化的線性函數：
以下形式的問題約束：
和非負變量：
其它類型的問題，例如極小化問題，不同形式的約束問題，和有負變量的問題，都可以改寫成其等價問題的標準型。
模型建立
從實際問題中建立數學模型一般有以下三個步驟：
1.根據影響所要達到目的的因素找到決策變量；
2.由決策變量和所在達到目的之間的函數關係確定目標函數；
3.由決策變量所受的限制條件確定決策變量所要滿足的約束條件。
所建立的數學模型具有以下特點：
1、每個模型都有若干個決策變量（x1，x2，x3……，xn），其中n為決策變量個數。決策變量的一組值表示一種方案，同時決策變量一般是非負的。
2、目標函數是決策變量的線性函數，根據具體問題可以是最大化（max）或最小化（min），二者統稱為最優化（opt）。
3、約束條件也是決策變量的線性函數。
當我們得到的數學模型的目標函數為線性函數，約束條件為線性等式或不等式時稱此數學模型為線性規劃模型。
例：
生產安排模型：某工廠要安排生產Ⅰ、Ⅱ兩種產品，已知生產單位產品所需的設備台時及A、B兩種原材料的消耗，如表所示，表中右邊一列是每日設備能力及原材料供應的限量，該工廠生產一單位產品Ⅰ可獲利2元，生產一單位產品Ⅱ可獲利3元，問應如何安排生產，使其獲利最多？
解：
1、確定決策變量：設x1、x2分別為產品Ⅰ、Ⅱ的生產數量；
2、明確目標函數：獲利最大，即求2x1+3x2最大值；
3、所滿足的約束條件：
設備限制：x1+2x2≤8
原材料A限制：4x1≤16
原材料B限制：4x2≤12
基本要求：x1，x2≥0
用max代替最大值，s.t.（subject to 的簡寫）代替約束條件，則該模型可記為：
max z=2x1+3x2
s.t. x1+2x2≤8
4x1≤16
4x2≤12
x1，x2≥0
解法
求解線性規劃問題的基本方法是單純形法，已有單純形法的標準軟件，可在電子計算機上求解約束條件和決策變量數達 10000個以上的線性規劃問題。為了提高解題速度，又有改進單純形法、對偶單純形法、原始對偶方法、分解算法和各種多項式時間算法。對於只有兩個變量的簡單的線性規劃問題，也可採用圖解法求解。這種方法僅適用於只有兩個變量的線性規劃問題。它的特點是直觀而易於理解，但實用價值不大。通過圖解法求解可以理解線性規劃的一些基本概念。
發展
法國數學家J.- B.- J.傅里葉和C.瓦萊－普森分別於1832和1911年獨立地提出線性規劃的想法，但未引起注意。
1939年蘇聯數學家Л.В.康托羅維奇在《生產組織與計劃中的數學方法》一書中提出線性規劃問題，也未引起重視。[1]
1947年美國數學家G.B.Dantzing提出求解線性規劃的單純形法，為這門學科奠定了基礎。
1947年美國數學家J.von[[諾伊曼提出對偶理論,開創了線性規劃的許多新的研究領域，擴大了它的應用範圍和解題能力。
1951年美國經濟學家T.C.庫普曼斯把線性規劃應用到經濟領域，為此與康托羅維奇一起獲1975年諾貝爾經濟學獎。
50年代後對線性規划進行大量的理論研究，並湧現出一大批新的算法。例如，1954年C.萊姆基提出對偶單純形法，1954年S.加斯和T.薩迪等人解決了線性規劃的靈敏度分析和參數規劃問題，1956年A.塔克提出互補鬆弛定理，1960年G.B.丹齊克和P.沃爾夫提出分解算法等。
線性規劃的研究成果還直接推動了其他數學規劃問題包括整數規劃、隨機規劃和非線性規劃的算法研究。由於數字電子計算機的發展，出現了許多線性規劃軟件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解幾千個變量的線性規劃問題。 1979年蘇聯數學家L. G. Khachian提出解線性規劃問題的橢球算法，並證明它是多項式時間算法。
1984年美國貝爾電話實驗室的印度數學家N.卡馬卡提出解線性規劃問題的新的多項式時間算法。用這種方法求解線性規劃問題在變量個數為5000時只要單純形法所用時間的1/50。現已形成線性規劃多項式算法理論。50年代後線性規劃的應用範圍不斷擴大。 建立線性規劃模型的方法
應用
在企業的各項管理活動中,例如計劃、生產、運輸、技術等問題，線性規劃是指從各種限制條件的組合中，選擇出最為合理的計算方法，建立線性規劃模型從而求得最佳結果。
視頻
線性規劃問題