自然對數
簡介
以常數e為底數的對數叫做自然對數記作ln N(N>0).
歐拉(Leonhard Euler ,1707-1783) 著名的數學家,瑞士人,大部分時間在俄國和法國度過.他17歲獲得碩士學位,早年在數學天才貝努里賞識下開始學習數學,畢業後研究數學,是數學史上最高產的作家.在世發表論文700多篇,去世後還留下100多篇待發表.其論著幾乎涉及所有數學分支. 著名的七座橋問題也是他解決的。 他是創立數學符號的大師。首先使用f(x)表示函數,首先用∑表示連加,首先用i表示虛數單位.1727年首先引用e來表示自然對數的底。 歐拉公式有兩個 一個是關於多面體的 如凸多面體面數是F頂點數是V棱數是E則V-E+F=2這個2就稱歐拉示性數。 另一個是關於級數展開的 e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 這裡i是虛數單位i的平方=-1。
評價
自然對數的底數e是由一個重要極限給出的.我們定義：當x趨於無限時，lim(1+1/x)^x=e.
e是一個無限不循環小數，其值約等於2.718281828…，它是一個超越數.
對數函數
當自然對數ln N中真數為連續自變量時，稱為對數函數，記作y=In x（x為自變量，y為因變量）.
e的級數展開式
易證明：函數f(x)=e^x展開為x的冪級數(Maclaurin級數)是
f(x)=e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+…+(x^n)/n!+…；
特別地，當x=1時就得到了e的展開式
e=1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!+….
歷史
e在科學技術中用得非常多，一般不使用以10為底數的對數。以e為底數，許多式子都能得到簡化，用它是最「自然」的，所以叫「自然對數」。
我們可以從自然對數最早是怎麼來的來說明其有多「自然」。以前人們做乘法就用乘法，很麻煩，發明了對數這個工具後，乘法可以化成加法，即：log(ab) = loga + logb.
但是能夠這麼做的前提是，我要有一張對數表，能夠知道loga和logb是多少，然後求和，能夠知道log多少等於這個和。雖然編對數表很麻煩，但是編好了就是一勞永逸的事情，因此有個大數學家開始編對數表。但他遇到了一個麻煩，就是這個對數表取多少作為底數最合適？10嗎？或是2？為了決定這個底數，他做了如下考慮：
1．所有乘數/被乘數都可以化到0-1之內的數乘以一個10的幾次方，這個用科學記數法就行了。
2．那麼現在只考慮做一個0-1之間的數的對數表了，那麼我們自然用一個0-1之間的數做底數（如果用大於1的數做底數，那麼取完對數就是負數，不好看）。
3．這個0-1間的底數不能太小，比如0.1就太小了，這會導致很多數的對數都是零點幾；而且「相差很大的兩個數的對數值卻相差很小」，比如0.1做底數時，兩個數相差10倍時，對數值才相差1.換句話說，像0.5和0.55這種相差不大的數，如果用0.1做底數，那麼必須把對數表做到精確到小數點以後很多位才能看出他們對數的差別。
4．為了避免這種缺點，底數一定要接近於1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。總的來說就是1 - 1/X ，X越大越好。在選了一個足夠大的X（X越大，對數表越精確，但是算出這個對數表就越複雜）後，你就可以算
（1-1/X）^1 = P1 ，
（1-1/X）^2 = P2 ，
……
那麼對數表上就可以寫上P1 的對數值是1，P2的對數值是 2……（以1-1/X作為底數）。而且如果X很大，那麼P1,P2,P3……間都靠得很緊，基本可以滿足均勻地覆蓋了0.1-1之間的區間。
5．最後他再調整了一下，用（1- 1/X）^ X作為底，這樣P1的對數值就是1/X，P2的對數值就是2/ X，……PX的對數值就是1，這樣不至於讓一些對數值變得太大，比如若X=10000,有些數的對數值就要到幾萬，這樣調整之後，各個數的對數值基本在0-1之間。兩個值之間最小的差為1/X。
6．現在讓對數表更精確，那麼X就要更大，數學家算了很多次，1000，1萬，十萬，最後他發現，X變大時，這個底數（1 - 1/X）^ X趨近於一個值。這個值就是1/e，自然對數底的倒數（雖然那個時候還沒有給它取名字）。其實如果我們第一步不是把所有值放縮到0.1-1之間，而是放縮到1-10之間，那麼同樣的討論，最後的出來的結果就是e了--- 這個大數學家就是著名的歐拉(Euler)，自然對數的名字e也就來源於歐拉的姓名。
當然後來數學家對這個數做了無數研究，發現其各種神奇之處，出現在對數表中並非偶然，而是相當自然或必然的。因此就叫它自然對數底了。
自然律螺線
渦形或螺線型是自然事物極為普遍的存在形式，比如：一縷裊裊升上藍天的炊煙，一朵碧湖中輕輕盪開的漣漪，數隻緩緩攀援在籬笆上的蝸牛和無數在恬靜的夜空攜擁着旋舞的繁星……螺線表達自然律。螺線特別是對數螺線的美學意義可以用指數的形式來表達：φkρ=αe.其中，α和k為常數，φ是極角，ρ是極徑，e是自然對數的底。為了討論方便，我們把e或由e經過一定變換和複合的形式定義為「自然律」。因此，「自然律」的核心是e，其值為2.71828……，是一個無限不循環數。
自然律之美
「自然律」是e 及由e經過一定變換和複合的形式。e是「自然律」的精髓，在數學上它是函數：(1+1/x)^x
當X趨近無窮時的極限。人們在研究一些實際問題，如物體的冷卻、細胞的繁殖、放射性元素的衰變時，都要研究(1+1/x)^x ，當X趨近無窮時的極限。正是這種從無限變化中獲得的有限，從兩個相反方向發展（當X趨向正無窮大的時，上式的極限等於e=2.71828……，當X趨向負無窮大時候，上式的結果也等於e=2.71828……）得來的共同形式，充分體現了宇宙的形成、發展及衰亡的最本質的東西。
淵源及發展
1.宇宙與生命
現代宇宙學表明，宇宙起源於「大爆炸」，而且目前還在膨脹，這種描述與十九世紀後半葉的兩個偉大發現之一的熵定律，即熱力學第二定律相吻合。熵定律指出，物質的演化總是朝着消滅信息、瓦解秩序的方向，逐漸由複雜到簡單、由高級到低級不斷退化的過程。退化的極限就是無序的平衡，即熵最大的狀態，一種無為的死寂狀態。這過程看起來像什麼？只要我們看看天體照相中的旋渦星系的照片即不難理解。如果我們一定要找到亞里士多德所說的那種動力因，那麼，可以把宇宙看成是由各個預先上緊的發條組織，或者乾脆把整個宇宙看成是一個巨大的發條，歷史不過是這種發條不斷爭取自由而放出能量的過程。
生命體的進化卻與之有相反的特點，它與熱力學第二定律描述的熵趨於極大不同，它使生命物質能避免趨向與環境衰退。任何生命都是耗散結構系統，它之所以能免於趨近最大的熵的死亡狀態，就是因為生命體能通過吃、喝、呼吸等新陳代謝的過程從環境中不斷吸取負熵。新陳代謝中本質的東西，乃是使有機體成功的消除了當它自身活着的時候不得不產生的全部熵。
2.自然律的價值
「自然律」一方面體現了自然系統朝着一片混亂方向不斷瓦解的崩潰過程（如元素的衰變），另一方面又顯示了生命系統只有通過一種有序化過程才能維持自身穩定和促進自身的發展（如細胞繁殖）的本質。正是具有這種把有序和無序、生機與死寂寓於同一形式的特點，「自然律」才在美學上有重要價值。
如果荒僻不毛、浩瀚無際的大漠是「自然律」無序死寂的熵增狀態，那麼廣闊無垠、生機盎然的草原是「自然律」有序而欣欣向榮的動態穩定結構。因此，大漠使人感到肅穆、蒼茫，令人沉思，讓人回想起生命歷程的種種困頓和坎坷；而草原則使人興奮、雀躍，讓人感到生命的歡樂和幸福。
3.自然律的表達
e=2.71828……是「自然律」的一種量的表達。「自然律」的形象表達是螺線。螺線的數學表達式通常有下面五種：（1）對數螺線；（2）阿基米德螺線；（3）連鎖螺線；（4）雙曲螺線；（5）迴旋螺線。對數螺線在自然界中最為普遍存在，其它螺線也與對數螺線有一定的關係，不過目前我們仍未找到螺線的通式。對數螺線是1638年經笛卡爾引進的，後來瑞士數學家雅各·伯努利曾詳細研究過它，發現對數螺線的漸屈線和漸伸線仍是對數螺線，極點在對數螺線各點的切線仍是對數螺線，等等。伯努利對這些有趣的性質驚嘆不止，竟留下遺囑要將對數螺線畫在自己的墓碑上。
4.螺線的哲學
英國著名畫家和藝術理論家荷迦茲深深感到：旋渦形或螺線形逐漸縮小到它們的中心，都是美的形狀。事實上，我們也很容易在古今的藝術大師的作品中找到螺線。為什麼我們的感覺、我們的「精神的」眼睛經常能夠本能地和直觀地從這樣一種螺線的形式中得到滿足呢？這難道不意味着我們的精神，我們的「內在」世界同外在世界之間有一種比歷史更原始的同構對應關係嗎？
我們知道，作為生命現象的基礎物質蛋白質，在生命物體內參與着生命過程的整個工作，它的功能所以這樣複雜高效和奧秘無窮，是同其結構緊密相關的。化學家們發現蛋白質的多鈦鏈主要是螺旋狀的，決定遺傳的物質——核酸結構也是螺旋狀的。
古希臘人有一種稱為風鳴琴的樂器，當它的琴弦在風中振動時，能產生優美悅耳的音調。這種音調就是所謂的「渦流尾跡效應」。讓人深思的是，人類經過漫長歲月進化而成的聽覺器官的內耳結構也具渦旋狀。這是為便于欣賞古希臘人的風鳴琴嗎？還有我們的指紋、發旋等等，這種審美主體的生理結構與外在世界的同構對應，也就是「內在」與「外在」和諧的自然基礎。
有人說數學美是「一」的光輝，它具有儘可能多的變換群作用下的不變性，也即是擁有自然普通規律的表現，是「多」與「一」的統一，那麼「自然律」也同樣閃爍着「一」的光輝。誰能說清e=2.71828……給數學家帶來多少方便和成功？人們讚揚直線的剛勁、明朗和坦率，欣賞曲線的優美、變化與含蓄，殊不知任何直線和曲線都可以從螺線中取出足夠的部分來組成。有人說美是主體和客體的同一，是內在精神世界同外在物質世界的統一，那麼「自然律」也同樣有這種統一。人類的認識是按否定之否定規律發展的，社會、自然的歷史也遵循着這種辯證發展規律，是什麼給予這種形式以生動形象的表達呢？螺線！
5.自然律的哲學有人說美在於事物的節奏，「自然律」也具有這種節奏；有人說美是動態的平衡、變化中的永恆，那麼「自然律」也同樣是動態的平衡、變化中的永恆；有人說美在於事物的力動結構，那麼「自然律」也同樣具有這種結構——如表的遊絲、機械中的彈簧等等。
「自然律」是形式因與動力因的統一，是事物的形象顯現，也是具象和抽象的共同表達。有限的生命植根於無限的自然之中，生命的脈搏無不按照宇宙的旋律自覺地調整着運動和節奏……有機的和無機的，內在的和外在的，社會的和自然的，一切都合而為一。這就是「自然律」揭示的全部美學奧秘嗎？不！「自然律」永遠具有不能窮盡的美學內涵，因為它象徵着廣袤深邃的大自然。正因為如此，它才吸引並且值得人們進行不懈的探索，從而顯示人類不斷進化的本質力量。（原載《科學之春》雜誌1984年第4期，原題為：《自然律——美學家和藝術家的瑰寶》）
近似值
用計算機可以計算出e的近似值，如下：
0~500
e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995
95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274
27466 39193 20030 59921 8174135966 29043 57290 03342 95260
59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901
15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680
82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069
55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760
67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416
92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696
77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312
500~1000
77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825
28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117
30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429
53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509
96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422
87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496
84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418
49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016
76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051
01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354
1000後
02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224
74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868
76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246
65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409
75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251
64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743
70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622
64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828
93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959
30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298
49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812
88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169
84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177
88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327
61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109
62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310
05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275
36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965
50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183
15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139
55990 06737 64829 22443 75287 18462 45780 36192 98197 13991
47564 48826 26039 03381 44182 32625 15097 48279 87779 96437
30899 70388 86778 22713 83605 77297 88241 25611 90717 66394
65070 63304 52795 46618 55096 66618 56647 09711 34447 40160
70462 62156 80717 48187 78443 71436 98821 85596 70959 10259
68620 02353 71858 87485 69652 20005 03117 34392 07321 13908
03293 63447 97273 55955 27734 90717 83793 42163 70120 50054
51326 38354 40001 86323 99149 07054 79778 05669 78533 58048
96690 62951 19432 47309 95876 55236 81285 90413 83241 16072
26029 98330 53537 08761 38939 63917 79574 54016 13722 36187
89365 26053 81558 41587 18692 55386 06164 77983 40254 35128
43961 29460 35291 33259 42794 90433 72990 85731 58029 09586
31382 68329 14771 16396 33709 24003 16894 58636 06064 58459
25126 99465 57248 39186 56420 97526 85082 30754 42545 99376
91704 19777 80085 36273 09417 10163 43490 76964 23722 29435
23661 25572 50881 47792 23151 97477 80605 69672 53801 71807
76360 34624 59278 77846 58506 56050 78084 42115 29697 52189
08740 19660 90665 18035 16501 79250 46195 01366 58543 66327
12549 63990 85491 44200 01457 47608 19302 21206 60243 30096
41270 48943 90397 17719 51806 99086 99860 66365 83232 27870
93765 02260 14929 10115 17177 63594 46020 23249 30028 04018
67723 91028 80978 66605 65118 32600 43688 50881 71572 38669
84224 22010 24950 55188 16948 03221 00251 54264 94639 81287
36776 58927 68816 35983 12477 88652 01411 74110 91360 11649
95076 62907 79436 46005 85194 19985 60162 64790 76153 21038
72755 71269 92518 27568 79893 02761 76114 61625 49356 49590
37980 45838 18232 33686 12016 24373 65698 46703 78585 33052
75833 33793 99075 21660 69238 05336 98879 56513 72855 93883
49989 47074 16181 55012 53970 64648 17194 67083 48197 21448
88987 90676 50379 59036 69672 49499 25452 79033 72963 61626
58976 03949 85767 41397 35944 10237 44329 70935 54779 82629
61459 14429 36451 42861 71585 87339 74679 18975 71211 95618
73857 83644 75844 84235 55581 05002 56114 92391 51889 30994
63428 41393 60803 83091 66281 88115 03715 28496 70597 41625
62823 60921 68075 15017 77253 87402 56425 34708 79089 13729
17228 28611 51591 56837 25241 63077 22544 06337 87593 10598
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08816 41833 19201 96262 34162 88166 52137 47173 25477 72778
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66421 76400 31215 27870 22236 64636 35755 50356 55769 48886
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10396 78195 94298 33186 48075 60836 79551 49663 64489 65592
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47205 21952 90793 96137 62110 72384 94290 61635 76045 96231
25350 60685 37651 42311 53496 65683 71511 66042 20796 39446
66211 63255 15772 90709 78473 15627 82775 98788 13649 19512
57483 32879 37715 71459 09106 48416 42678 30994 97236 74420
17586 22694 02159 40792 44805 41255 36043 13179 92696 73915
75424 19296 60731 23937 63542 13923 06178 76753 95871 14361
04089 40996 60894 71418 34069 83629 93675 36262 15452 47298
46421 37528 91079 88438 13060 95552 62272 08375 18629 83706
67872 24430 19579 37937 86072 10725 42772 89071 73285 48743
74355 78196 65117 16618 33088 11291 20245 20404 86822 00072
34403 50254 48202 83425 41878 84653 60259 15064 45271 65770
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43336 51780 00217 19034 49234 26426 62922 61456 00433 73838
68335 55534 34530 04264 81847 39892 15627 08609 56506 29340
40526 49432 44261 44566 59212 91225 64889 35696 55009 15430
64261 34252 66847 25949 14314 23939 88454 32486 32746 18428
46655 98533 23122 10466 25989 01417 12103 44608 42716 16619
00125 71958 70793 21756 96985 44013 39762 20967 49454 18540
71184 46433 94699 01626 98351 60784 89245 14058 94094 63952
67807 35457 97003 07051 16368 25194 87701 18976 40028 27648
41416 05872 06184 18529 71891 54019 68825 32893 09149 66534
57535 71427 31848 20163 84644 83249 90378 86069 00807 27093
27673 12758 19665 63941 14896 17168 32980 45513 97295 06687
60474 09154 20428 42999 35410 25829 11350 22416 90769 43166
85742 42522 50902 69390 34814 85645 13030 69925 19959 04363
84028 42926 74125 73422 44776 55841 77886 17173 72654 62085
49829 44989 46787 35092 95816 52632 07225 89923 68768 45701
78230 38096 56788 31122 89305 80914 05726 10865 88484 58731
01658 15116 75333 27674 88701 48291 67419 70151 25597 82572
70740 64318 08601 42814 90241 46780 47232 75976 84269 63393
57735 42930 18673 94397 16388 61176 42090 04068 66339 88568
41681 00387 23892 14483 17607 01166 84503 88721 23643 67043
31409 11557 33280 18297 79887 36590 91665 96124 02021 77855
88548 76176 16198 93707 94380 05666 33648 84365 08914 48055
71039 76521 46960 27662 58359 90519 87042 30017 94655 36788 ......
複數類型
問題：求複數a+bi的自然對數
解答：把複數a+bi寫成指數形式，也就是re^(iθ)。
（r為複數a+bi的模，即r=√(a^2+b^2)，θ為複數a+bi的輻角主值）
a+bi=re^(iθ)
我們注意到：r=e^ln(r)。如：2=e^ln(2)等。
所以re^(iθ)=e^ln(r)·e^(iθ)=e^(ln(r)+iθ)
即a+bi=e^(ln(r)+iθ)
而根據自然對數的定義，若x=e^n，那麼ln(x)=n
所以ln(a+bi)=ln(r)+iθ
例：求ln(-1)
這裡r=1（實數的模就是實數的絕對值，|-1|=1），θ=π（-1的輻角主值是180°，即π弧度）。
代入，ln(-1)=ln(1)+πi=πi
實際上，ln(-1)=πi，可根據自然對數的定義推出e^(πi)=-1，移項，得e^(πi)+1=0。這就是最美的公式。[1]