計算數學

原圖鏈接來自 中科院數學與系統科學研究院 的圖片

《計算數學》計算數學也叫做數值計算方法或數值分析。主要內容包括代數方程、線性代數方程 組、微分方程的數值解法，函數的數值逼近問題，矩陣特徵值的求法，最優化計算問題，概率統計計算問題等等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問題。

五次及五次以上的代數方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代數方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是數值分析的方法。對於一般的超越方程，如對數方程、三角方程等等也只能採用數值分析的辦法。怎樣找出比較簡潔、誤差比較小、花費時間比較少的計算方法是數值分析的主要課題。

在求解方程的辦法中，常用的辦法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的計算是比較簡單的，是比較容易進行的。迭代法還可以用來求解線性方程組的解。求方程組的近似解也要選擇適當的迭代公式，使得收斂速度快，近似誤差小。

在線性代數方程組的解法中，常用的有塞德爾迭代法、共軛斜量法、超鬆弛迭代法等等。此外，一些比較古老的普通消去法，如高斯法、追趕法等等，在利用計算機的條件下也可以得到廣泛的應用。

在計算方法中，數值逼近也是常用的基本方法。數值逼近也叫近似代替，就是用簡單的函數去代替比較複雜的函數，或者代替不能用解析表達式表示的函數。數值逼近的基本方法是插值法。初等數學里的三角函數表，對數表中的修正值，就是根據插值法製成的。

在遇到求微分和積分的時候，如何利用簡單的函數去近似代替所給的函數，以便容易求到和求積分，也是計算方法的一個主要內容。微分方程的數值解法也是近似解法。常微分方程的數值解法由歐拉法、預測校正法等。偏微分方程的初值問題或邊值問題，

常用的是有限差分法、有限元素法等。有限差分法的基本思想是用離散的、只含有限個未知數的差分方程去代替連續變量的微分方程和定解條件。求出差分方程的解法作為求偏微分方程的近似解。

目錄

研究範疇

計算問題可以說是現代社會各個領域普遍存在的共同問題，工業、農業、交通運輸、醫療衛生、文化教育等等，哪一行哪一業都有許多數據需要計算，通過數據分析，以便掌握事物發展的規律。研究計算問題的解決方法和有關數學理論問題的一門學科就叫做計算數學。計算數學屬於應用數學的範疇，它主要研究有關的數學和邏輯問題怎樣由計算機加以有效解決。

模糊數學是一門新興學科，它已初步應用於模糊控制、模糊識別、模糊聚類分析、模糊決策、模糊評判、系統理論、信息檢索、醫學、生物學等各個方面。在氣象、結構力學、控制、心理學等方面已有具體的研究成果。然而模糊數學最重要的應用領域是計算機職能，不少人認為它與新一代計算機的研製有密切的聯繫。模糊數學是以不確定性的事物為其研究對象的。在模糊數學中，已有模糊拓撲學、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語言學、模糊邏輯學等分支。

分支學科

算術、初等代數、高等代數、數論、歐式幾何、非歐幾何、解析幾何、微分幾何、代數幾何學、射影幾何學、拓撲學、分形幾何、微積分學、實變函數論、概率和數理統計、複變函數論、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、數理邏輯、模糊數學、運籌學、突變理論、數學物理學。

研方向

專業輪廓

20世紀以來，因為計算機的廣泛應用，計算數學得到了長足發展，而計算數學理論的發展又促進了計算機和信息科學的進步。雖然在國內計算數學還沒有得到足夠的重視，但在國外計算數學是最熱門的學科之一。計算數學的主要研究方向包括數值泛函分析與連續計算複雜性理論、數值偏微與有限元、非線性數值代數及復動力系統、非線性方程組的數值解法、數值逼近論、計算機模擬與信息處理等、工程問題數學建模與計算。發展最好的方向已經與應用數學的CAGD方向合二為一，因為二者的核心都是數值計算，並以計算機編程為手段。

研究熱點

蔡小昊（2006級計算數學碩士研究生）：計算數學在國內和國際上都是一個很重要的學科，它主要對科學工程計算等問題進行研究。因為學科交叉會帶來很多新生的研究方向，所以計算數學的研究方向非常多。最熱的方向應該是微分方程的數值求解、數值代數和流形學習，特別是流形學習已經熱了幾年，估計還會繼續熱下去。

潘一力（2007級計算數學碩士研究生）：計算數學是由數學、物理學、計算機科學、運籌學與控制科學等學科交叉滲透而形成的一個理科專業。作為交叉型學科，發展前景廣闊。很多有實際物理應用背景的研究（如流體力學、光波導、光子晶體等）以及很多需要解決的問題，工科的人往往因缺乏實際的數學計算能力對數學問題無從下手，不知如何解決，這正需要數學系的學生利用自身的數學背景着手去解決這些問題。

Sophia（2006級計算數學碩士研究生）：簡言之，計算數學就是為物理學和工程學作計算的一門專業。我個人覺得有限元是今後的熱門方向。

視頻

計算數學 相關視頻

數學計算小妙招 數學家的故事-高斯（3）