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賈憲(Jia Xian 數學家

賈憲
數學家
國籍 中國
職業 數學家
知名於 傑出數學家 賈憲三角 增乘開方法
知名作品 《黃帝九章算法細草》
《九卷》
《算法古集》

目錄

人物簡介

  賈憲,11世紀前半葉中國北宋數學家。賈憲是中國十一世紀上半葉(北宋)的傑出數學家.曾撰《黃帝九章算法細草》(九卷)和《算法古集》(二卷)(「」讀:xi4o,意:教導),都已失傳。據《宋史》記載,賈憲師從數學家楚衍學天文、歷算,着有《黃帝九章算法細草》,《釋鎖算書》等書。賈憲着作已佚,但他對數學的重要貢獻,被南宋數學家楊輝引用,得以保存下來。賈憲的主要貢獻是創造了賈憲三角和增乘開方法.增乘開方法即求高次冪的正根法.目前中學數學中的綜合除法,其原理和程序都與它相仿.增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷,又更程序化,所以在開高次方時,尤其顯出它的優越性.增乘開方法的計算程序大致和歐洲數學家霍納(公元1819年)的方法相同,但比他早770年。在中國數學史上賈憲最早發現賈憲三角形。楊輝在所着《詳解九章算法》《開方作法本元》一章中作賈憲開方作法圖,並說明「出釋鎖算書,賈憲用此術」。賈憲開方作法圖就是賈憲三角形。楊輝還詳細解說賈憲還發明的釋鎖開平方法,釋鎖開立方法,增乘開平方法,增乘開立方法。

  

數學成就

  賈憲的老師楚衍是北宋前期著名的天文學家和數學家,「於《九章》、《緝古》、《綴術》、《海島》諸算經尤得其妙」。當時人王洙(997---1057)有記載:「世司天算,楚,為首。既老昏,有,子賈憲、朱吉著名。憲今為左班殿直,吉隸太史。憲運算亦妙,有書傳於世。」根據記載賈憲着有《黃帝九章算經細草》九卷、《算法斅古集》二卷及《釋鎖》,可惜均已失傳。楊輝着《詳解九章算法》(1261年)中曾引用賈憲的「開方作法本源」圖(即指數為正整數的二項式展開係數表,現稱「楊輝三角形」)和「增乘開方法」(求高次冪的正根法)。前者比帕斯卡(PascalBlaise,1623---1662)三角形早600年,後者比霍納(WilliamGeogeHorner,1786—1837)的方法(1819年)早770年。此外,「立成釋鎖開方法」的給出,「勾股生變十三圖」的完善,以及「增乘方求廉法」的創立,都表明賈憲對算法抽象化、程序化、機械化作出了重要貢獻。

  

數學方法論

  雖然有關賈憲的資料保存下來的並不完整,但從楊輝緝錄的細草中,我們仍然可以發現他的一些獨到的數學思想和方法,主要有以下兩點。

  (一)抽象分析法

  在研究《九章》過程中,賈憲使用了抽象分析法,尤其在解決勾股問題是更為突出,他首先提出了「勾股生變十三圖」。他說:「勾股弦並而為和,減而為較,等而為變,為乘,為段,自乘為積,為冪。」十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股較(b-a)、勾弦較(c-a)、股弦較(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦較和(c+(b-a))、弦和和(c+(a+b))、弦和較((a+b)-c)、弦較教(c-(b-a))。他完備了勾股弦及其和差的所有關係,說這些關係「有用而取,無用不取,立圖而驗之」,說明他已經拋開《九章》算題本身而對勾股問題進行抽象分析了。

  例如「出南北門測邑方」問,《九章》的方法是:術曰:以出北門步數乘西行步數,倍之為實,並出南門步數為從法,開方除之即邑方。賈憲的方法是:術曰:余勾乘股,倍之為實並二餘勾為從,開方除不。正是掌握了這一方法,才使他能夠使用純數學的方法改寫《九章》術文,給後人留下公式化的解題範例。在方程術等其他章節的細草中,他也廣泛運用了這種方法。

  (二)程序化方法

  程序化方法主要是指探究問題的思維程序、過程和步驟.適用於同一理論體系下,同一類問題的解決。賈憲的「增乘開方法」和「增乘方求廉法」尤其集中地體現了這一方法,比如少廣章有:「今有積一百八十六萬八百六十七尺,問:為立方幾何?」這是一道對1860867開三次方的問題。賈憲的方法是:草曰:(1)實上商置第一位得數一百。(2)以上商乘下法置廉一百,乘廉為方一萬,除實,訖。(3)復以上商一百乘下法入廉共二百,乘廉入方共三萬。(4)又乘下法入廉共三百。(5)其方一、廉二、下三退定十。(6)再於第一位商數之次,復商第二位得數二十,以乘下法入廉共三百二十,乘廉入方共三萬六千四百,命上商除實,訖餘一十三萬二千八百六十七。(7)復以次商二十乘下法入廉共三百四十,乘廉入方共四萬三千二百尺。(8)又乘下法入廉共三百六十。(9)其方一、廉二、下三退,如前。(10)上商第三位得數三尺,乘下法入廉共三百六十三,乘廉入方共四萬四千二百八十九,命上商三尺除實,適盡,得立方一面之數。