賈憲

賈憲（Jia Xian 數學家

賈憲
File:賈憲2018.jpg 原圖鏈接 數學家
國籍	中國
職業	數學家
知名於	傑出數學家 賈憲三角 增乘開方法
知名作品	《黃帝九章算法細草》 《九卷》 《算法古集》 。

目錄

人物簡介

　　賈憲，11世紀前半葉中國北宋數學家。賈憲是中國十一世紀上半葉（北宋）的傑出數學家．曾撰《黃帝九章算法細草》（九卷）和《算法古集》（二卷）（「」讀：xi4o，意：教導），都已失傳。據《宋史》記載，賈憲師從數學家楚衍學天文、歷算，着有《黃帝九章算法細草》，《釋鎖算書》等書。賈憲着作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，得以保存下來。賈憲的主要貢獻是創造了賈憲三角和增乘開方法．增乘開方法即求高次冪的正根法．目前中學數學中的綜合除法，其原理和程序都與它相仿．增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷，又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性．增乘開方法的計算程序大致和歐洲數學家霍納（公元1819年）的方法相同，但比他早770年。在中國數學史上賈憲最早發現賈憲三角形。楊輝在所着《詳解九章算法》《開方作法本元》一章中作賈憲開方作法圖，並說明「出釋鎖算書，賈憲用此術」。賈憲開方作法圖就是賈憲三角形。楊輝還詳細解說賈憲還發明的釋鎖開平方法，釋鎖開立方法，增乘開平方法，增乘開立方法。

　　

數學成就

　　賈憲的老師楚衍是北宋前期著名的天文學家和數學家，「於《九章》、《緝古》、《綴術》、《海島》諸算經尤得其妙」。當時人王洙(997---1057)有記載：「世司天算，楚，為首。既老昏，有，子賈憲、朱吉著名。憲今為左班殿直，吉隸太史。憲運算亦妙，有書傳於世。」根據記載賈憲着有《黃帝九章算經細草》九卷、《算法斅古集》二卷及《釋鎖》，可惜均已失傳。楊輝着《詳解九章算法》(1261年)中曾引用賈憲的「開方作法本源」圖(即指數為正整數的二項式展開係數表，現稱「楊輝三角形」)和「增乘開方法」(求高次冪的正根法)。前者比帕斯卡(PascalBlaise，1623---1662)三角形早600年，後者比霍納(WilliamGeogeHorner，1786—1837)的方法(1819年)早770年。此外，「立成釋鎖開方法」的給出，「勾股生變十三圖」的完善,以及「增乘方求廉法」的創立，都表明賈憲對算法抽象化、程序化、機械化作出了重要貢獻。

　　

數學方法論

　　雖然有關賈憲的資料保存下來的並不完整，但從楊輝緝錄的細草中，我們仍然可以發現他的一些獨到的數學思想和方法，主要有以下兩點。

　　(一)抽象分析法

　　在研究《九章》過程中，賈憲使用了抽象分析法，尤其在解決勾股問題是更為突出，他首先提出了「勾股生變十三圖」。他說：「勾股弦並而為和，減而為較，等而為變，為乘，為段，自乘為積，為冪。」十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股較(b-a)、勾弦較(c-a)、股弦較(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦較和(c+(b-a))、弦和和(c+(a+b))、弦和較((a+b)-c)、弦較教(c-(b-a))。他完備了勾股弦及其和差的所有關係，說這些關係「有用而取，無用不取，立圖而驗之」，說明他已經拋開《九章》算題本身而對勾股問題進行抽象分析了。

　　例如「出南北門測邑方」問，《九章》的方法是：術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之為實，並出南門步數為從法，開方除之即邑方。賈憲的方法是：術曰：余勾乘股，倍之為實並二餘勾為從，開方除不。正是掌握了這一方法，才使他能夠使用純數學的方法改寫《九章》術文，給後人留下公式化的解題範例。在方程術等其他章節的細草中，他也廣泛運用了這種方法。

　　(二)程序化方法

　　程序化方法主要是指探究問題的思維程序、過程和步驟.適用於同一理論體系下，同一類問題的解決。賈憲的「增乘開方法」和「增乘方求廉法」尤其集中地體現了這一方法，比如少廣章有：「今有積一百八十六萬八百六十七尺，問：為立方幾何?」這是一道對1860867開三次方的問題。賈憲的方法是：草曰：(1)實上商置第一位得數一百。(2)以上商乘下法置廉一百,乘廉為方一萬，除實，訖。(3)復以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三萬。(4)又乘下法入廉共三百。(5)其方一、廉二、下三退定十。(6)再於第一位商數之次，復商第二位得數二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三萬六千四百，命上商除實，訖餘一十三萬二千八百六十七。(7)復以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四萬三千二百尺。(8)又乘下法入廉共三百六十。(9)其方一、廉二、下三退，如前。(10)上商第三位得數三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四萬四千二百八十九，命上商三尺除實，適盡，得立方一面之數。