連續統假設

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連續統假設是全國科學技術名詞審定委員會審定、公布的科技術語。

隨着社會制度的不斷發展與進步，中國的漢字也在不斷演化着，從最初的甲骨文漸漸發展到了小篆，後來文化進一步發展後，才出現了」漢字」這種說法。

目錄

名詞解釋

1874年格奧爾格·康托爾猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。它又被稱為希爾伯特第一問題，在1900年第二屆國際數學家大會上，大衛·希爾伯特把康托爾的連續統假設列入20世紀有待解決的23個重要數學問題之首。1938年哥德爾證明了連續統假設和世界公認的ZFC公理系統不矛盾。1963年美國數學家保羅·寇恩證明連續假設和ZFC公理系統是彼此獨立的。因此，連續統假設不能在ZFC公理系統內證明其正確性與否。

問題的提出

通常稱實數集即直線上點的集合為連續統，而把連續統的勢（大小）記作C1。

2000多年來，人們一直認為任意兩個無窮集都一樣大。直到1891年，G.康托爾證明：任何一個集合的冪集（即它的一切子集構成的集合）的勢都大於這個集合的勢，人們才認識到無窮集合也可以比較大小。

自然數集是最小的無窮集合，自然數集的勢記作阿列夫零。康托爾證明連續統勢等於自然數集的冪集的勢。是否存在一個無窮集合，它的勢比自然數集的勢大，比連續統勢小？這個問題被稱為連續統問題。

康托爾猜想這個問題的解答是否定的，即連續統勢是比自然數集的勢大的勢中最小的一個無窮勢，記作C1；自然數集的勢記作C0。這個猜想就稱為連續統假設。

問題已有解決

1938年，K.哥德爾證明了CH對ZFC公理系統（見公理集合論)是協調的，1963年，P.J.科恩證明CH對ZFC公理系統是獨立的，是不可能判定真假的。這樣，在ZFC公理系統中，CH是不可能判定真假的。這是60年代集合論的最大進展之一。然而到了21世紀，前人的結論又開始被動搖了。

康托爾證明連續統的基數等於自然數集冪集的基數，並把它記作2^ℵ0(其中ℵ0讀作阿列夫零)。康托爾還把無窮基數按照從小到大的次序排列為ℵ0，ℵ1，…ℵa……其中a為任意序數，康托爾猜想，2^ℵ0=ℵ1。這就是著名的連續統假設（簡記CH）。一般來說，對任意序數a，斷定2^ℵa=ℵ(a+1)成立，就稱為廣義連續統假設（簡記GCH）。在ZF中，CH和選擇公理（簡記AC）是互相獨立的，但是由GCH可以推出AC。ZF加上可構造性公理(簡記V=L)就可以推出GCH，當然也能推出CH和AC。