设X与Y都是巴拿赫空间，若T是从X到Y的线性算子，则T是有界的必须且只须G(T)是闭的。 共轭算子 设X与Y都是巴拿赫空间。若线性算子T的定义域D(T)在X中稠密，而T 的值都在Y中，如果对有x*∈X*使当x∈D(T)时，y*(Tx)=x*(x)则x*由y*惟一确定，记作T┡y*=x*,一般称T┡为T的共轭算子或对偶算子。特别当T是从X到Y的有界线性算子时，则T┡也是有界的，且‖T┡‖=‖T‖。显然，共轭算子是转置矩阵的推广，所以它自然地在研究方程Tx=y时起着重要的作用。 设A为巴拿赫空间X上的线性算子，称N(A)={x;Ax=0}为A的零空间，R(A)={y;y=Ax,x∈D(A)}为A的值域。从线性方程组的解，已经看到A与A┡之值域与零空间的密切关系，后来在弗雷德霍姆理论中又再次看到这点。 对点集，所谓M在X*中的零化子即 而于点集，则G在X中之零化子即。设A为巴拿赫空间上有界线性算子，则，，，。若又设X 自反，则。 闭值域定理 设X与Y是巴拿赫空间，而T是从X到Y的闭线性算子，且，则下列命题等价:①R(T)在Y 中是闭的，②R(T┡)在X*中是闭的，③④。<ref>[https://baikebaijiahao.sobaidu.com/doc/7766539-8040634.html s?id=1717368938728286306&wfr=spider&for=pc 巴拿赫空间]搜狗</ref>