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一元多项式

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中文名;一元多项式

定 义;数域F中的数

简 介;代数学研究的基本对象之一

次 数;最高次项或首项

代数学研究的基本对象之一。设 P 是一个数域,x 是一个文字。形式表达式称为系数在数域 P 上 x 的一元多项式,或称数域 P 上的一元多项式。[1]

定义

设 a0,a1,…,an都是数域 F 中的数, n 是非负整数,那么表达式anxn +an-1xn-1+…+a2x2 +a1x+ a0(an≠0) 叫做数域 F上一个文字 x 的多项式或一元多项式。

在多项式中,a0叫做零次多项式或常数项,a1x 叫做一次项,一般,aix 叫做i次项,ai 叫做 i 次项的系数。一元多项式用符号 f(x),g(x),…来表示。

次数

anx叫做多项式:anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x+ a0(an≠0)的最高次项或首项。an称为首项系数,非负整数 n 叫做多项式的次数。

最高次项是零次项的多项式,即 a(a≠0) 的次数为零,叫零次多项式。

系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫零多项式,零多项式总可记为 0 。

例如: a+b 是关于 a 的一次多项式;3x+2x-5 是关于 x 的二次多项式;x+y 是关于 x 的三次多项式。

相等

若是数域P上两个一元多项式 f(x) 和 g(x) 有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么 f(x) 和 g(x) 叫做相等,记作 f(x)=g(x)。

如:1+0x+5x+0x=1+0x+5x=1+5x,而3+1x+2x=3+x+2x≠3+x+x

按上述定义可知:两个多项式

f(x)= a0+a1x+a2x+…+an-1x+anx

g(x)=b0+b1x+b2x+…+bn-1x+bnx

a0=b0,a1=b1,a2=b2,…,an-1=bn-1,an=bn

恒等

(1) 对于两个次数都不超过n次的多项式 f(x) 及 g(x) ,如果对于变数 x 的 n+1 个不同的数都有相同的值,那么这两个多项式恒等。

(2) 如果多项式 f(x) 与 g(x) 对于变数的 x 的无限多个数都有相同的值,那么它们是恒等的。

多项式

[polynomial]

多项式理论是代数学的一个古老的研究领域,早在公元前两千年,巴比伦人就已经知道如何求二次方程的根式解。直到19 世纪初,代数方程的根式解仍然是代数学研究的主要内容。1824 年,挪威青年数学家阿贝尔(N.H.Abel)作出了创造性的贡献,证明了一般五次方程的根式求解是不可能的。其后,法国年青的天才数学家伽明瓦(E.Galois) 给出了判别方程根式解的充要条件,彻底解决了这一难题。更为重要的是,伽罗瓦的新思想导致了群论的创立,这对整个数学的发展产生了持续深远的影响。多项式理论已成为一个完善、成熟的研究领域,其理论渗透到现代数学的各个分支中。

我们可以在任意环上定义一元或多元多项式,但是其理论过于一般化,缺乏深度。相对来说,域上的多项式理论有着更加丰富的内涵。例如,有理数域上的多项式理论是代数数论研究的对象。有限域上的多项式理论在编码学、密码学和组合设计等领域有重要的应用。因此,下面只介绍域上多项式的基本理论

设 F 是一个域,如有理数域是 F 中的元素。文字 x 通常称作变元(variable)或未定元(indeterminate)。

在表达式中,。

参考来源

中业考研 管理类联考数学 一元多项式 袁进

参考资料

  1. 一元多项式的定义,360文库 , 2018年7月20日