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| 二次函數 | |
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二次函數，在數學中，二次函數最高次必須為二次， 二次函數（quadratic function）表示形式為y=ax²+bx+c（a≠0)的多項式函數。二次函數的圖像是一條對稱軸平行於y軸的拋物線。
二次函數表達式y=ax²+bx+c的定義是一個二次多項式，因為x的最高次數是2。[1] 如果令二次函數的值等於零，則可得一個二次方程。該方程的解稱為方程的根或函數的零點。
基本簡介
一般地，我們把形如y=ax²+bx+c（其中a，b，c是常數，a≠0）的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數是2。
主要特點
「變量」不同於「未知數」，不能說「二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數」。「未知數」只是一個數（具體值未知，但是只取一個值），「變量」可在一定範圍內任意取值。在方程中適用「未知數」的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差別.如同函數不等於函數關係。[2]
二次函數圖像與X軸交點的情況
當△=b²-4ac>0時，函數圖像與x軸有兩個交點。
當△=b²-4ac=0時，函數圖像與x軸只有一個交點。
當△=b²-4ac<0時，函數圖像與x軸沒有交點。
二次函數圖像
在平面直角坐標系（Plane rectangular coordinates）中作出二次函數y=ax^2+bx+c的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準確無誤，那麼二次函數圖像將是由一般式平移得到的。
注意：草圖要有 :
1. 本身圖像，旁邊註明函數。 2. 畫出對稱軸，並註明直線X=什麼 （X= -b/2a） 3. 與X軸交點坐標 （x₁,y₁);(x₂, y₂)，與Y軸交點坐標(0,c)，頂點坐標(-b/2a, (4ac-b²)/4a).
軸對稱
二次函數圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a
對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖像的頂點P。
特別地，當b=0時，二次函數圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。
a,b同號，對稱軸在y軸左側.
a,b異號，對稱軸在y軸右側.
頂點
二次函數圖像有一個頂點P，坐標為P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b²/4a).
當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y=a(x-h)²+k。
h=-b/2a， k=(4ac-b²)/4a。
開口方向和大小
二次項係數a決定二次函數圖像的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則二次函數圖像的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小於0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大於0，所以a、b要同號
當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大於0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小於0，所以a、b要異號
可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0 ），對稱軸在y軸右。
事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數圖像與y軸的交點處的該二次函數圖像切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。
決定與y軸交點的因素
常數項c決定二次函數圖像與y軸交點。
二次函數圖像與y軸交於（0,C）
注意：頂點坐標為（h,k)， 與y軸交於（0,C)。
與x軸交點個數
a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函數圖像與x軸有2個交點。
k=0時，二次函數圖像與x軸只有1個交點。
a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數圖像與X軸無交點。
當a>0時，函數在x=h處取得最小值ymin=k，在x<h範圍內是減函數，在x>h範圍內是增函數（即y隨x的變大而變小），二次函數圖像的開口向上，函數的值域是y>k
當a<0時，函數在x=h處取得最大值ymax=k，在x<h範圍內是增函數，在x>h範圍內是減函數（即y隨x的變大而變大），二次函數圖像的開口向下，函數的值域是y<k
當h=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數
二次函數的性質
定義域（domain）：R
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b²)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：當b=0時為偶函數，當b≠0時為非奇非偶函數 。
周期性：無
解析式：
①y=ax²+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；
⑷Δ=b²-4ac,
Δ>0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ=0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
Δ<0，圖象與x軸無交點；
特殊地，Δ=4，頂點與兩零點圍成的三角形為等腰直角三角形；Δ=12，頂點與兩零點圍成的三角形為等邊三角形。
②y=a(x-h)²+k[頂點式]
此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b²)/4a
③y=a(x-x₁)(x-x₂)[交點式（雙根式）]（a≠0）
對稱軸X=(X₁+X₂)/2 當a>0 且X≧(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≤（X₁+X₂）/2時Y隨X
的增大而減小
此時，x₁、x₂即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
用）。
交點式是Y=A(X-X₁)(X-X₂) 知道兩個x軸交點和另一個點坐標設交點式。兩交點X值就是相應X₁ X₂值。
增減性
當a>0且y在對稱軸右側時，y隨x增大而增大，y在對稱軸左側則相反，同增同減。
當a<0且y在對稱軸右側時，y隨x增大而減小，y在對稱軸左側則相反，大小小大。
最值
當a＞0時，函數有最小值（4ac-b²）/4a。
當a＜0時，函數有最大值（4ac-b²）/4a。
相關分類
一般式
y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為 [-b/2a,(4ac-b²)/4a]
把三個點代入式子得出一個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。
頂點式
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點坐標為（h,k），對稱軸為x=h，頂點的位置特徵和圖像的開口方向與函數y=ax²的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。
例：已知二次函數y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。
解：設y=a(x-1)²+2，把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)²+2。
交點式
y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [僅限於與x軸即y=0有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線，即b²-4ac≥0] .
已知拋物線與x軸即y=0有交點A（x₁，0）和 B（x₂，0）,我們可設y=a(x-x₁)(x-x₂),然後把第三點代入x、y中便可求出a。
由一般式變為交點式的步驟：
∵X+x=-b/a x1·x=c/a
∴y=ax²+bx+c
=a（x²+b/ax+c/a）
重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。
其他知識介紹：牛頓插值公式
由此可引導出交點式的係數a=y/(x·x)(y為截距) 二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
其他資料
兩個關聯函數圖像
對稱關係
對於一般式：
①y=ax²+bx+c與y=ax²-bx+c兩圖像關於y軸對稱
②y=ax²+bx+c與y=-ax²-bx-c兩圖像關於x軸對稱
③y=ax²+bx+c與y=-ax²+bx+c-2b²*|a|/4a²關於頂點對稱
④y=ax²+bx+c與y=-ax²+bx-c關於原點對稱。
對於頂點式：
①y=a(x-h)²+k與y=a(x+h)²+k兩圖像關於y軸對稱，即頂點（h,k）和（－h,k）關於y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。
②y=a(x-h)²+k與y=-a(x-h)²-k兩圖像關於x軸對稱，即頂點（h,k）和（h,－k）關於X軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。
③y=a(x-h)²+k與y=-a(x-h)²+k關於頂點對稱，即頂點（h,k）和（h,k）相同，開口方向相反。
④y=a(x-h)²+k與y=-a(x+h)²-k關於原點對稱，即頂點（h,k）和（－h,－k）關於原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。
與一元二次方程的關係
特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax^2+bx+c，
當y=0時，二次函數為關於x的一元二次方程（以下稱方程），
即ax²+bx+c=0
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式 頂點坐標 對 稱 軸
y=ax² (0，0) x=0
y=ax²+K (0，K) x=0
y=a(x-h)² (h，0) x=h
y=a(x-h)²+k (h，k) x=h
y=ax²+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。
當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k（h>0,k>0）的圖象
當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y=a(x-h)²+k（h>0,k<0）的圖象
當h<0,k>0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位，就可得到y=a(x-h)²+k（h<0,k>0）的圖象
當h<0,k<0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y=a(x-h)²+k（h<0,k<0）的圖象
在向上或向下。向左或向右平移拋物線時，可以簡記為「上加下減，左加右減」。
因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。
2．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小。
4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與x軸交於兩點A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a絕對值分之根號下△）另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標）
當△=0．圖象與x軸只有一個交點；
當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0。
5．拋物線y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值。
6．用待定係數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
如何學習二次函數
1.二次函數對比一次函數學習。
2.掌握重點。
3.多做題.熟練度高一些自然簡單了。
4.要舉一反三.延伸更多做題技巧。
知識要點
1.要理解函數的意義。
2.要記住函數的幾個表達形式，注意區分。
3.一般式，頂點式，交點式，等，區分對稱軸，頂點，圖像，y隨着x的增大而減小（增大）等的差異性。
4.聯繫實際對函數圖像的理解。
5.計算時，看圖像時切記取值範圍。
6.隨圖像理解數字的變化而變化。 二次函數考點及例題
二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現，而且綜合性很強，一般會綜合四邊形.三角形.一次函數出現。
誤區提醒
（1）對二次函數概念理解有誤，漏掉二次項係數不為0這一限制條件；
（2）對二次函數圖象和性質存在思維誤區；
（3）忽略二次函數自變量取值範圍；
（4）平移拋物線時，弄反方向。
(5)二次函數既不是正比例函數也不是反比例函數