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| 整除 | |
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整除，若整数a除以非零整数b，商为整数，且余数 为零， 我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，a为被除数，b为除数，即b|a("|"是整除符号)，读作"b整除a"或"a能被b整除"。a叫做b的倍数，b叫做a的约数(或因数)。整除属于除尽的一种特殊情况。[1]
整除的概念
整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数a除以数b(b≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽(或说b能除尽a)。因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零。除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。
整除的性质
①若a|b，a|c，则a|(b±c)。[2]
②若a|b，则对任意c(c≠0)，a|bc。
③对任意非零整数a，±a|a=±1。
④若a|b，b|a，则|a|=|b|。
⑤如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除。
⑥如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反过来也成立。
对任意整数a，b，b>0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则d是a，b的最大公因数。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素，也称互质。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。
运算技巧
能被整除的数有以下辨别方法:
常用辨别方法
(1)1与0的特性:
1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a。
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0。
(2)能被2整除的数的特征
若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
(3)能被3整除的数的特征
1、若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
2、由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。如111令3整除。
(4)能被4整除的数的特征
若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
(5)能被5整除的数的特征
若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
(6)能被6整除的数的特征
若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
(7)能被7整除的数的特征
1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止。同能被17整除的数的特征。
2、末三位以前的数与末三位以后的差(或反过来)。同能被11,13整除的数的特征。
(8)能被8整除的数的特征
若一个整数的末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
(9)能被9整除的数的特征
若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
(10)能被10整除的数的特征
若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
(11)能被11整除的数的特征
若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的“割尾法”处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1!
(12)能被12整除的数的特征
若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
其他辨别方法
(13)能被13整除的数的特征
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、验和”的过程，直到能清楚判断为止。
(14)能被17整除的数的特征
1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，同能被7整除的特征一样。
2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
(15)能被19整除的数的特征
1、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续使用能被13整除特征的方法。
2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
(16)能被23整除的数的特征
若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。
统一方法
设整数x的个位数为a，判断其是否能被n整除:令(x-a)/10-ma=nk(k∈N*)，则x=n[10k+(10m+1)a/n]，要使x能被n整除，只要(10m+1)/n为自然数。