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最大公因数

最大公因数,最大公约数,也称最大公因数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的最小公倍数记为[a,b]。

基本介绍

大公约数(greatest common divisor,简写为gcd;或highest common factor,简写为hcf),指某几个整数共有因子中最大的一个。

能够整除一个整数的整数称为其的约数(如5是10约数);[1]

能够被一个整数整除的整数称为其的倍数(如10是5的倍数);

如果一个数既是数A的约数,又是数B的约数,称为A,B的公约数,A,B的公约数

中最大的一个(可以包括AB自身)称为AB的最大公约数[1]

定义

如果有一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约数。几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数,称为这几个自然数的最大公约数。

例: 在2、4、6中,2就是2,4,6的最大公约数。[2] 早在公元前300年左右,欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单,假设用f(x, y)表示x,y的最大公约数,取k = x/y,b = x%y,则x = ky + b,如果一个数能够同时整除x和y,则必能同时整除b和y;而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y,即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的,其最大公约数也是相同的,则有f(x, y)= f(y, x%y)(y > 0),如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数,直到其中一个数为0,剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。

最大公因数1.jpg

例如,12和30的公约数有:1、2、3、6,其中6就是12和30的最大公约数。

辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的,也叫欧几里德算法,其方法是用较大的数除以较小的数,上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数,继续做上面的除法,直到出现能够整除的两个数,其中较小的数(即除数)就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例,操作如下:

288÷123=2余42

123÷42=2余39

42÷39=1余3

39÷3=13

所以3就是288和123的最大公约数。

性质

重要性质:gcd(a,b)=gcd(b,a) (交换律)

gcd(-a,b)=gcd(a,b)

最大公因数2.jpg

gcd(a,a)=|a|

gcd(a,0)=|a|

gcd(a,1)=1

gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)

gcd(a,b)=gcd(b, a-b)

如果有附加的一个自然数m,

则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配律)

gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)

如果m是a和b的最大公约数,

则: gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m

最大公因数3.jpg

在乘法函数中有:

gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)

两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法:

  • 两数各分解质因数,然后取出同样有的质因数乘起来
  • 辗转相除法(扩展版)

和最小公倍数(lcm)的关系:

gcd(a, b) * lcm(a, b) = ab

a与b有最大公约数,

两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数,或分数化简成最简分数。

两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律:

  • gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))
  • lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))

在坐标里,将点(0, 0)和(a, b)连起来,通过整数坐标的点的数目(除了(0, 0)一点之外)就是gcd(a, b)。

参考来源