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中线

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中线 三角形的中线是指连接 一个 顶点与它对边 中点线段

基本信息

中文名称 中线 [1]

外文名称 Median

定义

三角形中,连结一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线。

中线也是线段 ,一个三角形有3条中线。

性质

(1)任意三角形的三条中线把三角形分成面积相等的六个部分。中线都把三角形分成面积相等的两个部分。除此之外,任何其他通过中点的直线都不把三角形分成面积相等的两个部分。

(2)三角形中,角A的中线记为ma,角B的中线记为mb,角C的中线记为mc。

则三角形的三条中线长:

ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2 ;

mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2 ;

mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2 。

(3)三角形中中线的交点为重心,重心分中线为2:1(顶点到重心:重心到对边中点)。

(4)在一个角为30°直角三角形中,直角所对应的边上的中线为斜边的一半。

方法

倍长中线法:倍长中线的意思是,延长底边的中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相应的顶点,则对应角对应边都对应相等。

此法常用于构造全等三角形,利用中线的性质进而证明对应边之间的关系。

示例

已知(如图)AE是ABD中BD边上的中线,AB=CD,∠BAD=角ADB。


求证:AC=2AE。

分析:这也是一道巧用中线的证明题,原题要求我们证出AC=2AE。而AE在图形中恰好是一个三角形的中线,我们知道要证两条线段相等,只要证两条线段所在的两个三角形全等就可以。

而图形中没有2AE这条线段,这样我们就必须构造出一个全新的三角形,使其中一边的长为2AE,延长AE至点F,使AE=EF(AF=2AE),连结BF,从而得到一个新的三角形△ABF。进而证得△ABF和三角形ADC全等,从而证AC=AF,即AC=2AE。

參考來源