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主元法

來自 呢圖網 的圖片

中文名稱;主元法

類別;分解因式方法

簡例;(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

特點;可以對多種因式分解

所謂主元法分解因式就是在分解含多個字母的代數式時,選取其中一個字母為主元(未知數),將其它字母看成是常數,把代數式整理成關於主元的降冪排列(或升冪排列)的多項式,再嘗試用公式法、配方法、分組法等分解因式的方法進行分解。[1]

目錄

利用方式

較為簡單的利用

1.因式分解(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

分析:如果懂得因式定理的話,解此題自然會流暢很多,但是用主元法的話,也十分簡便。

拆開原式,並按a的降冪排列得:

(b+c)a2+(b2+c2+2bc)a+b(bc+c2)

=(a+c)(b+c)(a+b)------------------------------【十字相乘法】

十字相乘圖為

a--------------- b

(b+c)a -----bc+c2

對於低次因式分解,主元法與十字相乘法的配合是卓有成效的。

2.因式分解16y+2x2(y+1)2+(y-1)2x4

分析:本題尚且屬於簡單例用,只是稍加難度,以y為主元會使原式極其煩瑣,而以x為主元的話,原式的難度就大大降低了。

原式=(y-1)2x4+2(y+1)2x2+16y---------------------【主元法】

=(x2y2-2x2y+x2+8y)(x2+2)---------------------【十字相乘法】

十字相乘圖為

(y-1)2x2 ----8y

x2------------2

如果能很好地利用主元法,低次因式分解就不會太難了。

高難度的主元法利用

1.因式分解2x3+6y3+15z3-9x2y+7xy2-x2z-16xz2-37y2z+32yz2+13xyz

分析:本題屬於高難度因式分解中的中檔題,如果不假思索就上邊的方法,就會處處碰壁。

1.原式=2x3-(9y+z)x2+(13yz+7y2-16z2)x+6y3+15z3-37y2z+32yz2---------------【主元法】

這樣本題的條理就清晰多了,現拋開x,只看6y3+15z3-37y2z+32yz2,

這是一個2元三次因式分解,難度簡單多了。

原式=6y3-9zy2-(28y2z-32yz2-15z3)-------------------------【拆項法】

=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)

再代入原題目,接下來的工作就簡單了。

由於首項x係數為2,所以本題難度綜合來講不是太難,算出係數2是與(y-5z)結合的。

所以原式=(x-2y+3z)(2x+y-5z)(x-3y-z)------------------------【拆項法及十字相乘法】

因式分解

競賽類的學生,因式分解的高手可以演算一下,這是個很好的練習,對你們會很有幫助

因式分解:

-12 m2 p2 + 10 m2 p x - 18 m p2 x + 12 m2 x2+ 15 m p x2 -6 p2 x2+ 18 m x3 + 5 p x3 + 6 x4 - 24 m2 p y - 6 m p2 y +10 m2 x y - 31 m p x y + 6 p2 x y + 21 m x2 y - 17 p x2 y -x3 y - 12 m2 y2 - 12 m p y2 + 36 p2 y2 - 13 m x y2 -18 p x y2 - 47 x2 y2 - 6 m y3 + 72 p y3 - 24 x y3 + 36 y4 +20 m2 p z + 6 m p2 z + 48 m2 x z + 25 m p x z + 66 m x2 z +10 p x2 z + 24 x3 z + 20 m2 y z + 22 m p y z - 30 p2 y z +49 m x y z + 15 p x y z + 16 x2 y z + 16 m y2 z - 120 p y2 z -129 x y2 z - 90 y3 z + 48 m2 z2 - 10 m p z2 + 6 p2 z2 +48 m x z2 - 5 p x z2 + 18 x2 z2 + 14 m y z2 + 62 p y z2+91 x y z2 - 88 y2 z2 - 24 m z3 - 10 p z3 - 24 x z3 +110 y z3 - 24 z4

終於,在其他方法都幾乎失效時,主元法的威力體現了出來。

分析:看題目的確很長,但仔細觀察也能發現其弱點。

1.沒有常數項。

2.首項x的係數很小,預計其能分解成(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)的形式。

3.自開始起,一部分是6的倍數,緊接着是5的倍數,直到至-2zpmy這一項時,這個特點斷掉了。

解題開始:

令x,y,z,p都為0,原式變成了--------2m2

令x,y為0,原式變成了---------------12p2m2

令x為0,原式=-12y3............................+12p2m2,此時正是用主元法的時候

解得原式=(3y+4z+3p)(-2y+6z-2p)(2y-z+m)(-3y+z+2m)-----【主元法,拆項法,十字相乘法,提取公因式。 通過把上述的四項依次填入(x+d)(2x+o)(3x+h)(x+j)中,實際上還是要用主元法,

原式=(2x+3y+4z+3p)(3x-2y+6z-2p)(x+2y-z+m)(x-3y+z+2m)

對於這題,硬碰硬是不行的。

參考來源

第六講因式分解主元法

參考資料

  1. 主元法,360文庫 , 2022年7月2日