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交换律

交换律,是数学内的一个术语,是抽象代数给定集合S·上的二元运算,如果对S中的任意a、b满足:a·b = b·a则称·满足交换律。

基本信息

中文名 交换律 [1]

范 畴 数学名词 [2]

类 型 加法交换律,乘法交换律

交换律1.jpg

含 义 改变顺序而不改变其最终结果

基本定义

给定集合S上的二元运算·,如果对S中的任意a,b满足:

a·b = b·a

则称·满足交换律。

举例信息

1.在四则运算中,加法和乘法都满足交换律。在小学课本中的表述如下:

交换律2.jpg

加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变.a+b=b+a

乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,它们的积不变.a*b=b*a

2.在集合运算中,集合的交,并,对称差等运算都满足交换律。

类型

加法交换律

a+b=b+a 有两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律。

乘法交换律

交换律3.jpg

a×b=b×a 两个数相乘,交换因数的位置,积不变,这叫做乘法的交换律。

历史

对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初,那时数学家开始在研究函数的理论。今日,交换律已被普遍认知,且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

第一个使用“可交换(commutative)”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记,这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。

相关性质

结合律

结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地,交换律则是指算子的顺序不会影响其最终结果的性质。

交换律4.jpg

对称

对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数,则此一函数会对 y = x 这条线对称。举例来说,若设一函数 f 来表示加法(一可交换运算),所以 f(x,y) = x + y 。


交换律与结合律是什么

交换律分为加法交换律和乘法交换律

结合律分为加法结合律和乘法结合律

例如:

加法交换律:1+3=3+1 总结: A+B=B+A

乘法交换律:1*3=3*1 总结:A*B=B*A

加法结合律:1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3 总结:A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C

乘法交换律:1*2*3=1*(2*3)=(1*2)*3 总结:A*B*C=A*(B*C)=(A*B)*C

资料

交换律5.jpg

类型加法交换律a+b=b+a 有两个加数相加,交换加数的位置,和不变,这叫做加法交换律。

乘法交换律

a×b=b×a 两个数相乘,交换因数的位置,积不变,这叫做乘法的交换律。

在小学课本中表述如下:

乘法结合律:三个数相乘,先把前面两个数相乘,先乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变

字母表示:(a×b)×c=a×(b×c)

集合交并

集合的交,并运算都满足结合律:

交:(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

并:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

交换律6.jpg

矩阵乘法

矩阵乘法满足结合律。

一个A x B的矩阵乘以一个B x C的矩阵将得到一个A x C的矩阵,时间复杂度为A x B x C。

交换律、结合律分配率,乘法交换律、结合律、分配率公式是什么

1、乘法交换律:在两个数的乘法运算中,在从左往右计算的顺序,两个因数相乘,交换因数的位置,积不变。

乘法交换律公式:a×b=b×a

2、乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,再和另外一个数相乘,或先把后两个数相乘,再和另外一个数相乘,积不变。

乘法结合律公式(a×b)×c=a×(b×c)

交换律7.png

3、乘法分配律:两个数的和与一个数相乘,可以先把它们分别与这个数相乘,再将积相加。

乘法分配律公式:(a+b)×c=a×c+b×c

扩展资料

整数的乘法运算满足:交换律,结合律, 分配律,消去律。

随着数学的发展, 运算的对象从整数发展为更一般群。群中的乘法运算不再要求满足交换律。 最有名的非交换例子,就是哈密尔顿发现的四元数群。 但是结合律仍然满足。

参考来源