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交換律

交換律,是數學內的一個術語,是抽象代數給定集合S·上的二元運算,如果對S中的任意a、b滿足:a·b = b·a則稱·滿足交換律。

基本信息

中文名 交換律 [1]

范 疇 數學名詞 [2]

類 型 加法交換律,乘法交換律

交換律1.jpg

含 義 改變順序而不改變其最終結果

基本定義

給定集合S上的二元運算·,如果對S中的任意a,b滿足:

a·b = b·a

則稱·滿足交換律。

舉例信息

1.在四則運算中,加法和乘法都滿足交換律。在小學課本中的表述如下:

交換律2.jpg

加法交換律:兩個數相加,交換加數的位置,它們的和不變.a+b=b+a

乘法交換律:兩個數相乘,交換因數的位置,它們的積不變.a*b=b*a

2.在集合運算中,集合的交,並,對稱差等運算都滿足交換律。

類型

加法交換律

a+b=b+a 有兩個加數相加,交換加數的位置,和不變,這叫做加法交換律。

乘法交換律

交換律3.jpg

a×b=b×a 兩個數相乘,交換因數的位置,積不變,這叫做乘法的交換律。

歷史

對交換律假定存在的應用早在很久之前便已有所記戴。埃及人用乘法的交換律來簡化乘積的計算。且知歐幾里得在《幾何原本》中已有假定了乘法交換律的存在。對交換律形式上的應用產生於18世紀末19世紀初,那時數學家開始在研究函數的理論。今日,交換律已被普遍認知,且在大多數的數學分支中被當做基本性質來使用。交換律的簡易版本通常會在初等數學教程中被教導。

第一個使用「可交換(commutative)」一詞的是 Francois Servois 於1814年寫下的筆記,這一詞在筆記中被用來指有着現在稱之為交換律的函數。這一詞首次出現於英語中的是在1844年的英國皇家學會哲學彙刊中。

相關性質

結合律

結合律和交換律密切相關着。結合律是指運算的順序並不會影響其最終結果。相對地,交換律則是指算子的順序不會影響其最終結果的性質。

交換律4.jpg

對稱

對稱可以和交換律有直接的關連。若將一個可交換運算子寫成一個二元函數,則此一函數會對 y = x 這條線對稱。舉例來說,若設一函數 f 來表示加法(一可交換運算),所以 f(x,y) = x + y 。


交換律與結合律是什麼

交換律分為加法交換律和乘法交換律

結合律分為加法結合律和乘法結合律

例如:

加法交換律:1+3=3+1 總結: A+B=B+A

乘法交換律:1*3=3*1 總結:A*B=B*A

加法結合律:1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3 總結:A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C

乘法交換律:1*2*3=1*(2*3)=(1*2)*3 總結:A*B*C=A*(B*C)=(A*B)*C

資料

交換律5.jpg

類型加法交換律a+b=b+a 有兩個加數相加,交換加數的位置,和不變,這叫做加法交換律。

乘法交換律

a×b=b×a 兩個數相乘,交換因數的位置,積不變,這叫做乘法的交換律。

在小學課本中表述如下:

乘法結合律:三個數相乘,先把前面兩個數相乘,先乘第三個數,或者先把後面兩個數相乘,再和第一個數相乘,它們的積不變

字母表示:(a×b)×c=a×(b×c)

集合交並

集合的交,並運算都滿足結合律:

交:(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

並:(A∪B)∪C=A∪(B∪C)

交換律6.jpg

矩陣乘法

矩陣乘法滿足結合律。

一個A x B的矩陣乘以一個B x C的矩陣將得到一個A x C的矩陣,時間複雜度為A x B x C。

交換律、結合律分配率,乘法交換律、結合律、分配率公式是什麼

1、乘法交換律:在兩個數的乘法運算中,在從左往右計算的順序,兩個因數相乘,交換因數的位置,積不變。

乘法交換律公式:a×b=b×a

2、乘法結合律:三個數相乘,先把前兩個數相乘,再和另外一個數相乘,或先把後兩個數相乘,再和另外一個數相乘,積不變。

乘法結合律公式(a×b)×c=a×(b×c)

交換律7.png

3、乘法分配律:兩個數的和與一個數相乘,可以先把它們分別與這個數相乘,再將積相加。

乘法分配律公式:(a+b)×c=a×c+b×c

擴展資料

整數的乘法運算滿足:交換律,結合律, 分配律,消去律。

隨着數學的發展, 運算的對象從整數發展為更一般群。群中的乘法運算不再要求滿足交換律。 最有名的非交換例子,就是哈密爾頓發現的四元數群。 但是結合律仍然滿足。

參考來源