全纯函数

全纯函数

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中文名: 全纯函数 外文名: Holomorphic functions 别 名: 解析函数 归 类: 数学函数 应用学科: 数学 相关术语: 亚纯函数

全纯函数 (holomorphic function) 是复理论研究的核心之一，它们是复流形到 C 的处处可微函数。全纯比实可微强很多，它直接推出函数无穷阶可微并可泰勒展开。“(复) 解析函数 (analytic function)” 可和 “全纯函数” 交换使用，但不常用，一般用来指实解析函数。"在一点全纯" 可推出在该点的某个开邻域可微。类似地，可以定义全纯多复变函数。全纯映射(holomorphic mapping) 是指两个复流形之间的局部全纯函数。

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定义

设 存在。

若)。

等价定义

一个单复变函数全纯当且仅当它实可微并且满足柯西-黎曼方程。

例子

所有关于 上是全纯的.

所有关于 也是 (三角函数和指数函数通过欧拉公式联系).

对数函数的主支在集合

上全纯. 平方根函数可以定义为

所以任何复对数 上全纯.

不是全纯的函数的典型例子有复共轭 (complex conjugation) .

性质

因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非

的地方全纯。

每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域

内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看全纯函数解析。

全纯函数满足Cauchy-Riemann方组，该方程组含有两个偏微分方程，也可以用复偏导算子写成一个。

在非

导数的点的附近，全纯函数是共形的 (或保角的，实际上就是相似在局部的推广)。因为它保持了图形的局部角度和形状 (但尺寸可能改变)。

Cauchy 积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。

几个变量

多复变量的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以(在一个多盘，也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比Cauchy-Riemann方程要强。事实上它可以这样表述:

一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足Cauchy-Riemann方程并且局部平方可积。

扩展到泛函分析

全纯函数的概念可以扩展到泛函分析中的无穷维空间。Fréchet导数条目介绍了巴拿赫空间上的全纯函数的概念。

判断一个函数是全纯函数三个方法

1，柯西黎曼方程。分别比较实部和虚部的偏导的关系。

2，柯西积分公式。全纯函数沿任意闭区域积分为零。

3，幂级数。全纯函数可以写成收敛的幂级数。