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| 公理 | |
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公理，是一个汉语词汇，读音为gōng lǐ，是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。
基本信息
中文名 公理 [1]
外文名 axiom [2]
拼音 gōng lǐ
注音 ㄍㄨㄙ ㄌㄧˇ
适用范围 数学，物理学
词语概念
基本解释
(1) [axiom]∶依据人类理性和愿望发展起来而共同遵从的道理。
世界有强权,没有公理啊!
(2) [self-evident truth;generally acknowledged truth]∶经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的命题(如数字中的)。[1]
引证解释
1.社会上公认的正确道理。《三国志·吴志·张温传》:"竞言 艳 及选曹郎 徐彪 ，专用私情，爱憎不由公理。" 清 姚鼐 《礼笺序》:"经之说有不得悉穷。古人不能无待於今，今人亦不能无待於后世。此万世公理也。" 叶圣陶 《倪焕之》十九:"世界有强权，没有公理啊!"
2.在一个系统中已为实践所反复证明而被认为无须再证明的真理。如"等量加等量其和相等"，就是公理。[1]
公理系统
公理系统(axiomatic system)就是把一个科学理论公理化，用公理方法研究它，每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系。公理化的实现就是:①从其诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念;②从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理。应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的。由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统。初始概念和公理是公理系统的出发点 。
公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统。最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的。第一个现代公理系统是D.希尔伯特于1899年提出的。他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题 。
例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设(以现代观点来看，公设也是公理)，平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得。
公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性(无矛盾性)、完全性，以及公理的独立性。其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的 。
由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统。如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这种认识。
在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是无需证明的。因为数学公理是在基本事实或自由构造的基础上为了研究方便人为设定的。有些是一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导，如1+1=2。
一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统。如欧几里德几何公理系统。因为要先定义概念，所以就要有一些初始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的"部分"、"长度"、"宽度"、"界限"以及"同样的位置"等。
实例
(a)传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理。如"有生必有死"，就属于这种判断。
(b)在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理:
① 等于同量的量彼此相等。
②等量加等量，其和相等。
③ 等量减等量，其差相等。
④ 彼此能重合的物体是全等的。
以下是常用的等量公理的代数表达:
①如果a=b，那么a+c=b+c。
②如果a=b，那么a-c=b-c。
③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc。
④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c。
⑤如果a=b，b=c，那么a=c。
公理集合论
公理集合论(axiomatic set theory)是数理逻辑的主要分支之一。是用公理化方法重建(朴素)集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究。1908年，E.策梅洛首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论。20世纪20年代，A.弗伦克尔和A.斯科朗对此予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛-弗伦克尔公理系统，简记为ZF。
ZF是一个形式系统，建立在有等词和关系符号"∈"(与朴素集合论中的属于关系相对应)的一阶谓词演算之上。它的非逻辑公理有:外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离(子集)公理模式、替换公理模式、正则(基础)公理。
如果另加选择公理(AC)，则所得到的公理系统简记为ZFC。现已证明:ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言工具。 但是由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的 。由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明 。
由于几乎全部数学都可归约为集合论，所以ZF系统的一致性一直是集合论中至关重要的问题。但根据哥德尔的不完全性定理，却无法在ZF系统内证明自身的一致性。此外，一些重要的命题，如连续统假设也是在ZF中不可判定的。
寻找这些不可判定问题并证明其不可判定性和扩充ZF，以期在扩充后的系统中判定这些命题，就成了公理集合论研究的两个出发点。1963年，美国学者P.科恩创立力迫法，从而证明了集合论中的一大批独立性问题 。
公理化
概括地说，几何学的公理化方法是从少数初始概念和公理出发，遵遁逻辑原则建立几何学演绎体系的方法。用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成:
①初始概念的列举。
②定义的叙述。
③公理的列举。
④定理叙述和证明。
这四个组成部分不是独立地叙述和展开，而是相互交织、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎。一般说来，用公理化方法建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和逻辑结构构成的统一体。决定几何体系的基础是初始概念和公理，不同的公理基础决定不同的几何体系，例如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何、拓扑学等。
几何体系的逻辑结构，主要取决于公理提出的先后次序，同一种几何体系由于公理系统的编排次序不同，可以产生不同的逻辑结构.例如，中学几何中的"外角定理"和三角形全等(合同)的"角角边定理"是在平行公理之后提出的，因此可根据平行公理的推论"三角形内角和等于二直角"很容易给予证明。
但在希尔伯特所建立的欧氏几何的体系中，由于这两个定理是在平行公理之前提出的，就不允许使用"三角形内角和"定理。即同一欧氏几何可有多种逻辑结构，一个几何命题的证法不是通用的，它在一种逻辑结构中适用，而在另一种逻辑结构中可能不适用。