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十字相乘法

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十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1.提公因式法 2.公式法 3.双十字相乘法 4.轮换对称法 5.拆添项法 6.配方法7.因式定理法 8.换元法 9.综合除法 10.主元法 11.特殊值法 12.待定系数法 13.二次多项式。

十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。

十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。对于像ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积，并使a1c2+a2c1正好等于一次项的系数b。那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。

原理

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。

则：[A*M+B*(S－M)]/S=C

M/S=(C-B)/(A-B)

1-M/S=(A-C)/(A-B)

因此：M/S∶(1-M/S)=(C-B)∶(A-C)

上面的计算过程可以抽象为：

A C-B

C

B A-C

总均值放中央，对角线上的大数减小数，结果放在对角线上

这就是所谓的十字分解法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B(每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。

判定

对于形如ax²+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字相乘法分解因式时，可以使用Δ=b²-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。

运算举例

例1：a²+a-42

首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a+?)×(a-?)，

然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。

再看最后一项是-42 ，-42是-6×7 或者6×(-7)也可以分解成 -21×2 或者21×(-2)或者±3×±14。

首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是7或者6，所以排除前者。

然后，再确定是-7×6还是7×（-6）。

﹣7﹢6=﹣1，7﹣6=1，因为一次项系数为1，所以确定是7×﹣6。

所以a²+a-42就被分解成为（a+7）×(a-6），这就是通俗的十字分解法分解因式。

具体应用

双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字分解法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。

例2：3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(x+2y-1)(3x-y+4)

因为3=1×3，-2=2×(-1)，-4=(-1)×4，

而1×(-1)+3×2=5，2×4+(-1)(-1)=9，1×4+3×(-1)=1

要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

例3：ab+b²+a-b-2

=0×1×a²+ab+b²+a-b-2

=(0×a+b+1)(a+b-2)

=(b+1)(a+b-2）

提示：设x²=y，用拆项法把cx²拆成mx²与ny之和。

例4：2x^4+13x^3+20x²+11x+2

=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2

=(2y+3x+1)(y+5x+2)

=(2x²+3x+1)(x²+5x+2)

=(x+1)(2x+1)(x²+5x+2)

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式。

例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3)，

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字分解法，分解为

即

-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

再利用十字分解法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=[x+(2y-3)][2x+(-11y+1)]

=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

(x+2y)(2x-11y)=2x^2-7xy-22y^2；

(x-3)(2x+1)=2x^2-5x-3；

(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3．

这就是所谓的双十字分解法．也是俗称的“主元法”

用双十字相乘法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²，得到一个十字相乘图(有两列）；

⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

我们把形如anx^n+a(n-1)x^(n-1)+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如

f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，

当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

f(1)=12-3×1+2=0；

f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12．

若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)至少有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。

分解因式

例1、因式分解。

x²-x-56

分析：因为7x + (-8x) =-x

解：原式=(x+7)(x-8)

例2、因式分解。

x²-10x+16

分析：因为-2x+(-8x)=-10x

解：原式=(x-2)(x-8)

例3、因式分解。

6y²+19y+15

分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

因为

9y + 10y=19y

解：原式=(2y+3)(3y+5)

例4、 因式分解。

14x²+3x-27

分析：因为

21x+(-18x)=3x

解：原式=(2x+3)(7x-9)

例5、 因式分解。

10(x+2)²-29(x+2)+10

分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

因为

-25(x+2)+[-4(x+2)]= -29(x+2)

解：原式=[2(x+2)-5][5(x+2)-2]

=(2x-1)(5x+8)

把2x²-7x+3分解因式.

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！）：

2=1×2=2×1；

分解常数项：

3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

1 3

╳

2 1

1×1+2×3=7 ≠-7

1 1

╳

2 3

1×3+2×1=5 ≠-7

1 -1

╳

2 -3

1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠-7

1 -3

╳

2 -1

1×(-1)+2×(-3)=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

例2

解 2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)

通常地，对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1 c1

╳

a2 c2

a1c2 + a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字分解法.

例3

把5x²+6xy-8y²分解因式.

分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y²看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

1 2

╳

5 -4

1×(-4)+5×2=6

解 5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).

指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。

例4

把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.

分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。

问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字分解法分解因式了。

解 (x-y)(2x-2y-3)-2

=(x-y)[2(x-y)-3]-2

=2(x-y)²-3(x-y)-2

1 -2

╳

2 1

1×1+2×(-2)=-3

=[(x-y)-2][2(x-y)+1]

=(x-y-2)(2x-2y+1).

指出：将元x、y换成(x+y)，以(x+y)为元，这就是“换元法”。

重难点

难点：灵活运用十字分解法分解因式。因为并不是所有二次多项式都可以用十字相乘法分解因式。

重点：正确地运用十字分解法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式。

注意事项

第一点：用来解决两者之间的比例问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。

参考来源

因式分解之十字相乘法