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单调性

函数的单调性(monotonicity)也可以叫做函数的增减性。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值f(x)也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性。[1]

定义

函数的单调性(monotonicity)也叫函数的增减性,可以定性描述在一个指定区间内,函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时,函数值也随着增大(或减小),则称该函数为在该区间上具有单调性(单调增加或单调减少)。在集合论中,在有序集合之间的函数,如果它们保持给定的次序,是具有单调性的。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性,则我们将D称作函数的一个单调区间,则可判断出:D⊆Q(Q是函数的定义域)。区间D上,对于函数f(x),∀(任取值)x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) >f(x2)。或,∀ x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) <f(x2)。函数图像一定是上升或下降的。该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。

  • 注意:函数单调性是针对某一个区间而言的,是一个局部性质。因此,说单调性时最好指明区间。
  • 有些函数在整个定义域内是单调的;有些函数在定义域内的部分区间上是增函数,在部分区间上是[减函数]];有些函数是非单调函数,如常数函数。
  • 函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质,具有任意性,不能用特殊值代替。
  • 在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中只能在定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。
  • 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开。

单调函数

一般地,设一连续函数f(x)的定义域为D,则如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1)>f(x2),即在D上具有单调性且单调增加,那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。

相反地,如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2∈D且x1>x2,都有f(x1) <f(x2),即在D上具有单调性且单调减少,那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。则增函数和减函数统称单调函数。[2]

性质

图象性质

  1. 函数单调性的几何特征:在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。
  2. 当x1 < x2时,都有f(x1)<f(x2) 等价于 ;
  3. 当x1 < x2时,都有f(x1)>f(x2) 。
  4. 如上图右所示,对于该特殊函数f(x),我们不说它是增函数或减函数,但我们可以说它在区间 [x1,x2]上具有单调性。

运算性质

  1. f(x)与f(x)+a具有相同单调性;
  2. f(x)与 g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性,当 a<0 时,具有相反单调性;
  3. 当f(x)、g(x)都是增(减)函数时,若两者都恒大于零,则f(x)×g(x)为增(减)函数;若两者都恒小于零,则为减(增)函数;
  4. 两个增函数之和仍为增函数;增函数减去减函数为增函数;两个减函数之和仍为减函数;减函数减去增函数为减函数;函数值在区间内同号时,增(减)函数的倒数为减(增)函数。

应用

利用函数单调性可以解决很多与函数相关的问题。通过对函数的单调性的研究,有助于加深对函数知识的把握和深化,将一些实际问题转化为利用函数的单调性来处理。因此对函数单调性的讨论小仅有重要的理论价值,而且具有很好的应用价值。本文结合一些典型例题分析说明函数单调性的应用,如利用函数的单调性求最值、解方程、证明小等式等。

利用函数单调性求最值:求函数的最大(小)值有多种方法,但基本的方法是通过函数的单调性来判定,特别是对于小可导的连续点,开区问或无穷区问内最大(小)值的分析,一般都用单调性来判定。

利用函数单调性解方程:函数单调性是函数一个非常重要的性质,由于单调函数中x与y是一对应的,这样我们就可把复杂的方程通过适当变形转化为型如“”方程,从而利用函数单调性解方程x=a,使问题化繁为简,而构造单调函数是解决问题的关键。

利用函数单调性证明不等式:首先,根据小等式的特点,构造一个单调函数;其次,判别此函数在某区问[a,b]上为单调函数;最后,由单调函数的定义得到我们要证明的小等式。

參考文獻