单调性查看源代码讨论查看历史
单调性
函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值f(x)也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性。[1]
定义
函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。
如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：D⊆Q（Q是函数的定义域）。区间D上，对于函数f(x)，∀（任取值）x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)。或，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)。函数图像一定是上升或下降的。该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。
- 注意：函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间。
- 有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是[减函数]]；有些函数是非单调函数，如常数函数。
- 函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。
- 在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。
- 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开。
单调函数
一般地，设一连续函数f(x)的定义域为D，则如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1)>f(x2)，即在D上具有单调性且单调增加，那么就说f(x) 在这个区间上是增函数。
相反地，如果对于属于定义域D内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)，即在D上具有单调性且单调减少，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。则增函数和减函数统称单调函数。[2]
性质
图象性质
- 函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
- 当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2) 等价于 ；
- 当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2) 。
- 如上图右所示，对于该特殊函数f(x)，我们不说它是增函数或减函数，但我们可以说它在区间 [x1，x2]上具有单调性。
运算性质
- f(x)与f(x)+a具有相同单调性；
- f(x)与 g(x) = a·f(x)在 a>0 时有相同单调性，当 a<0 时，具有相反单调性；
- 当f(x)、g(x)都是增（减）函数时，若两者都恒大于零，则f(x)×g(x)为增（减）函数；若两者都恒小于零，则为减（增）函数；
- 两个增函数之和仍为增函数；增函数减去减函数为增函数；两个减函数之和仍为减函数；减函数减去增函数为减函数；函数值在区间内同号时，增（减）函数的倒数为减（增）函数。
应用
利用函数单调性可以解决很多与函数相关的问题。通过对函数的单调性的研究，有助于加深对函数知识的把握和深化，将一些实际问题转化为利用函数的单调性来处理。因此对函数单调性的讨论小仅有重要的理论价值，而且具有很好的应用价值。本文结合一些典型例题分析说明函数单调性的应用，如利用函数的单调性求最值、解方程、证明小等式等。
利用函数单调性求最值：求函数的最大(小)值有多种方法，但基本的方法是通过函数的单调性来判定，特别是对于小可导的连续点，开区问或无穷区问内最大(小)值的分析，一般都用单调性来判定。
利用函数单调性解方程：函数单调性是函数一个非常重要的性质，由于单调函数中x与y是一对应的，这样我们就可把复杂的方程通过适当变形转化为型如“”方程，从而利用函数单调性解方程x=a，使问题化繁为简，而构造单调函数是解决问题的关键。
利用函数单调性证明不等式：首先，根据小等式的特点，构造一个单调函数；其次，判别此函数在某区问[a,b]上为单调函数；最后，由单调函数的定义得到我们要证明的小等式。