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有理映射是代数簇上的有理函数概念的推广。但是,它并不是集合意义下的映射。代数簇是代数几何的基本研究对象。设k是一个域,域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形。这里的基域k往往被取作代数闭域。有理函数是指由有理式表示的函数,即两个多项式函数的商(分母不是零多项式)。 双有理映射(birational mapping)一种特殊的有理映射。它诱导了两个代数簇的有理函数域间的同构。 [1]

中文名:双有理映射

外文名:birationalmapping

领 域:数学

性 质:特殊的有理映射

意 义:诱导了两个有理函数间的同构

相关词:双有理同构

概念

双有理映射(birational mapping)是一种特殊的有理映射。它诱导了两个代数簇的有理函数域间的同构。双有理映射φ:X→Y诱导了X和Y的两个稠密开子簇间的同构,而且反之亦正确。这样的两个代数簇被称为是双有理等价的或双有理同构的。利用双有理等价关系对代数簇进行分类是代数几何的根本问题之一。双有理映射的最简单的例子是具有非异中心的爆发(或称独异变换)。对于维数≤2的光滑完备簇,双有理映射一定可分解为上述的爆发或其逆映射的复合映射。 [2]

有理映射

有理映射是代数簇上的有理函数概念的推广。但是,它并不是集合意义下的映射。设X和Y都是代数簇,下述二元组(U,φU)的等价类称为一个有理映射φ:X→Y,这里的U是X的非空开子集,φU:U→Y是一个态射,(U,φU)与(V,φV)等价,当且仅当φU和φV在U∩V上相重合。当Y是仿射直线时,从X到Y的有理映射就是代数簇X上的有理函数。上述开子集U的并集U~称为有理映射φ的定义域。U~在φ下的像称为有理映射φ的像,并被记为φ(X).当φ(X)在Y内稠密时,φ可以定义有理函数域间的嵌入φ:k(Y)→k(X);反之,有理函数域的嵌入又可确定从X到Y内的一个有理映射。当φ是k(Y)到k(X)上的同构映射时,φ被称为双有理映射。

有理函数

有理函数是指由有理式表示的函数,即两个多项式函数的商(分母不是零多项式)。一元有理函数是由R(x)=P(x)/Q(x)表示的实函数或复函数,这里的P,Q是多项式,Q(x)0.当Q的次数n≠0时,称为有理分式;n=0时,即为多项式。有理函数的导数仍是有理函数;它的原函数可以用有理函数、对数函数与反正切函数的有限组合表示。如果P,Q的次数分别为m,n,有的文献把数偶(m,n)或数max{m,n}称为R(x)的次数。

代数簇

代数簇是代数几何的基本研究对象。设k是一个域,域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形。这里的基域k往往被取作代数闭域。若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常k概形,则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备(代数)簇。射影簇必定是完备簇,反之则不然。 设S是一个概型,φ是概型X到S的态射,则称X是一个S-概型,如果S=SpecR,则称X是一个R-概型。设f是概型X到Y的态射,如果△X/Y: X→XxYX,x→(x,x)是闭的浸入,则称X在Y上可分,若Y=SpecR,则称X是可分的。态射f:X→Y称为有限型的,如果存在Y的仿射开覆盖{Yλ|λ∈∧} 使得每个Xλ=f(Yλ) 可以被有限个仿射开子集覆盖,而Xλj=SpecBλj,Yλ=SpecAλ每个Bλj是有限生成的Aλ代数。若X→SpecR是有限型的,则称X是R-代数的。设k是一个代数闭域,V是一个整的,可分的在k上代数的k-概型,则我们称V是k上的一个代数簇。设(X,φ),(Y,φ)是S-概型,f: X→Y是态射,如果→f=φ,则称f是S-态射。设X,Y是R-概型,令E={ (U,φ)|U是X的稠密开子集,φ:U→Y是R-态射},在E上引入等价关系 (U,φ)~ (V,φ) 当且仅当对于U∩V的某个稠密开子集W,|w=Φ|W。E/~的元素称为有理映射,若Y=SpecR[X],则称为有理函数,X上所有有理函数的集合记作RatR(X)。若V是域k上的代数簇,则RatR(V)称为V的函数域。设f是X到Y的有理映射,如果存在(U,φ)∈f,使得φ(U)是Y的稠密子集,则称f是控制的。设V,W是代数簇,f:V→W是控制的有理映射,如果存在有理映射g:W→V使得g◦f是恒等映射,则称f是双有理映射。V到V的所有双有理映射作成一个群,称为V的双有理同构群。如果有V到W的双有理映射,则称V与W双有理等价。一维的代数簇称为曲线,二维的代数簇称为曲面。曲面S上的曲线C是曲面S的一维闭子簇。 [3]

同构

两个数学系统(例如两个代数系统),当它们的元素及各自所定义的运算一一对应,并且运算结果也保持一一对应,则称这两个系统同构,记为≌。它们对于所定义的运算,具有相同的结构。例如,十进制数与二进制数是同构的。

建立同构关系的映射,称为同构映射。例如,当映射为一一映射,并且对应元素关于运算保持对应时,就是同构映射。

同构是数学中最重要的概念之一。在很多情况,一个难题往往可以化成另一个同构的、似乎与它不相关的、已经解决的问题,从而使原问题方便地得到解决。虽然数学发展得越来越复杂,但利用同构概念,不仅使数学得到简化,而且使数学变得越来越统一。表面上似乎不同,但本质上等价的结果,可以用统一的形式表达出来。例如,如果四色定理得到了证明,其他数学分支中与它同构的几十个假设,也同时得到了证明。 ;[4]

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参考文献

  1. []张跃辉,吴六三,潘晓萍. 仿射奇异性与多项式同构映射[J]. 天津工程师范学院学报,2008,(03):40-41. [2017-10-01].]
  2. [赵逸才,武秀美. 关于代数簇的小收缩映射的翻转[J]. 暨南大学学报(自然科学与医学版),2006,(01):1-4. [2017-10-01].]
  3. [孙道椿,杨乐. 拟有理映射的迭代[J]. 自然科学进展,2000,(11):29-36. [2017-10-01].]
  4. [张广华,宋铭杰. 四维代数环群上无固定点的有理自同构群[J]. 新疆大学学报(自然科学版),1989,(02):49-53. [2017-10-01].]