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| 同余 |
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同余,数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。
同余关系：
同余：如果a和b除以c的余数相同，就说a和b关于模c同余，记作a≡b(mod c)。
如果两个数a和b的差能够被m整除，那么就说a和b对模数m同余（关于m同余）。
比如，28-13=15除以5正好除尽，我们就说28和13对于模数5同于，因为15是5的整数倍。它的另外一层含义就是说：28和13除以5的余数相同。a和b对m同余，我们记作a≡b(mod m)。比如，28与13对5同余可以写作28≡13(mod 5)。
同余关系是一种等价关系。
1.自反性：一个数永远和自己本身同余
2.对称性：a和b同余，b和a也就同余
3.传递性：a和b同余，b和c也同余，可以推出a和c也是同余的
同余运算中还有一些稍微复杂的性质。比如，同于运算和整数加减法一样满足“等量+等量，其和不变”。[1]
理论背景
数学上，两个整数除以同一个整数，若得相同余数，则二整数同余（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与符号者为德国数学家高斯。同余理论是初等数论的重要组成部分，是研究整数问题的重要工具之一，利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的。同余是数学竞赛的重要组成部分。
公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了这样一个问题：一个正整数n何时能成为一个由三个有理平方数形成的等差数列的公差，也就是说x-n，x，x+n都是平方数。十三世纪，意大利数学家斐波那契指出5和7是同余数，他也猜想1、2、3不是同余数，但未能给出证明。直到1659年，法国大数学家费尔马运用他自己发明的无穷下降法证明了1、2、3不是同余数。十八世纪，大数学家欧拉首次证明了7是同余数。1952年，Heegner证明了任意模8余5、7的素数和任意模4余3的素数的两倍均为同余数。2000年，美国克雷数学研究所公布了千禧年七大数学难题，每破解其中一个难题者将获得100万美元的奖金。其中就有著名的BSD猜想（全称Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而这个猜想与同余数问题有紧密的联系。2012年，田野证明了存在无穷多个具有任意指定素因子个数的同余数，这是在同余数问题上的一个根本性突破，也首次给出了解决BSD猜想的线索。
同余符号
两个整数a、b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m。
记作：a≡b (mod m)，
读作：a同余于b模m，或读作a与b对模m同余，例如26≡2(mod 12)。
定义
设m是大于1的正整数，a、b是整数，如果m|(a-b)，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a与b对模m同余。
显然,有如下事实
（1）若a≡0(mod m)，则m|a；
（2）a≡b(mod m)等价于a与b分别用m去除，余数相同。
证明
充分性：
设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2<m
∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).
则有m|(r1-r2).
∵0<=r1,r2<m
∴0<=|r1-r2|<m
又∵m|(r1-r2)
即r1-r2=0
∴r1=r2.
性质
1.反身性：a≡a (mod m)；
2.对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a (mod m)；
3.传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)；
4.同余式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a d(mod m)；
5.同余式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
证明：
∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),
∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).
故a≡c(mod m).
6.线性运算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那么
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；
(2)a * c ≡ b * d (mod m)。
证明：
(1)∵a≡b(mod m),
∴m|(a-b)
同理 m|(c-d)
∴m|[(a-b)±(c-d)]
∴m|[(a±c)-(b±d)]
∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
又 m|(a-b) , m|(c-d)
∴m|(ac-bd)
∴a * c ≡ b * d (mod m)
7.除法：若 ，其中gcd(c,m)表示c和m的最大公约数，
特殊地， ；
8.幂运算：如果 ；
9.若 ；
10.若 表示m1,m2,...mn的最小公倍数。
相关定理
1.欧拉定理：设a,m∈N，(a,m)=1，则
(注：φ(m)指模m的简系个数， φ(m)=m-1，如果m是素数；
2.费马小定理: 若p为质数，则 （但是当p|a时不等价）。
3.中国剩余定理（孙子定理）：
设整数 （mi的连乘）。则对于任意的j在(1,n)整数，下列联立的同余式有解：
令x为从1到n，ajxj的和，则x适合下列联立同余式，
另：求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个一位数对于模10同余。
一次同余式和孙子定理同余式的求解中，一次同余式是最基本的。设整系数n次(n>0)多项式 。 (2)
两两互素，而x表示x模mi的最小非负剩余。
如果已知x的模系数记数法，就可用孙子定理找出x。这个记数法的优点是加法和乘法无须进位，它在计算机方面有应用。
素数为模的同余式关于素数为模的同余式，1770年，J.-L.拉格朗日证明了如下定理：设p是素数，那么模 p的n次同余式的解数不大于 n（重解也计算在内）。人们称之为拉格朗日定理。由此立即可以得威尔森定理：如果 p是素数，那么(p-1)!+1≡0(mod p)。因为x-1≡0(mod p)有p-1个解1,…,p-1，故由拉格朗日定理可得
将x=0代入上式得-1≡(-1)(p-1)!(mod p),这就证明了威尔森定理。威尔森定理的逆定理也是成立的，可用反证法简单证出。用拉格朗日定理还可证明：当p≥5是一个素数时,则有同余。这个定理是1862年，由J.沃斯顿霍姆证明的。
设 的个数N的研究，是数论的重要课题之一。
早在1801年，C.F.高斯就研究了同余式 。
设ƒ(x)模 p无重因式，1924年，E.阿廷猜想同余式 也有类似的结果。1973年，P.德利涅证明了韦伊猜想。他的杰出工作获得了1978年的国际数学家会议的费尔兹奖。