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同构基本定理
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[[File:同构基本定理.jpeg|有框|右|<big>同构基本定理(示意图)</big>[https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/1e30e924b899a90102bda6fe1a950a7b0308f56a?x-bce-process%3Dimage%2Fresize%2Cm_lfit%2Cw_600%2Ch_800%2Climit_1%2Fquality%2Cq_85%2Fformat%2Cf_jpg 原图链接][https://zhidao.baidu.com/question/1757981389287416268.html 来自 百度 的图片]]] '''同构基本定理''',即同态基本定理,由埃米·诺特提出。包含三个定理,在泛代数领域有广泛的应用,证明了一些自然同构的存在性。<ref>[https://www.docin.com/p-831267183.html 同态基本定理与同构定理],豆丁网,2014-06-12</ref> ==来源出处== 同构基本定理最早由埃米·诺特(Emmy Noether)在她于1927在德国数学期刊数学分析(Mathematische Annalen)发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。 我们首先叙述群论中的同态基本定理,他们的形式相对简单,却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。 ==第一基本定理== 叙述:如果f是群G到群H的一个群同态,则 f的核(kernel)K是G的正规子群; 商群G/K群同构于f的像(image); f的像是H的子群。 数学表达 G,H是群 是群同态 则 是H的子群。 群同态第二基本定理 (或称群同态第三基本定理)叙述:如果H和K是群G的子群,H是K的正规化子的子群,则 H与K的乘积HK是G的子群; K是HK的正规子群,H∩K是H的正规子群; HK/K同构于H/(H∩K)。 数学表达 H,K是G的子群 H是的子群 则 HK是G的子群 群同态第三基本定理 (或称群同态第二基本定理)叙述:如果M、N是G的正规子群,M属于N,那么 M是N的正规子群; N/M是G/M的正规子群; (G/M)/(N/M)同构于G/N。 数学表达 则 ==环和模上形式== 将定理中的“群”换为“R-模”,将“正规子群”换为“子模”,就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理,(因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立)对于向量空间,同构第一基本定理即是秩-零化度定理。 将定理中的“群”换为“环”,“子群”换为“子环”,“正规子群”换为“理想”,“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。 与子群的乘积HK相对应的定义是子模,子环,子空间的并,用H+ K而不再用HK表示。具体的定义是: ==定理推广== 广泛代数中,正规子群被推广为更广泛的同余类的概念。 设A是一个代数结构,A的一个同余类是A上的一个等价关系Φ,可看作是A x A上的子代数。等价类A/Φ的集合在定义了适合的运算法则后,便可成为与A同类型的代数结构。 ==第一同构定理== 设A和B是两个代数结构,f是A到B的态射,则A等价关系Φ:a~b当且仅当f(a)=f(b)是A上的一个同余类,并且A/Φ同构于f的像(B的子代数)。 ==第二同构定理== 设B是A的子代数,Φ是A上的同余类。令[B]Φ是所有包含B种元素的同余类的集合,它是A/Φ的一个子集;ΦB是Φ限制在 B x B上的部分。那么[B]Φ是A/Φ的子代数结构,ΦB是B上的同余类,并且[B]Φ同构于B/ΦB。 ==第三同构定理== 设A是一个代数结构,Φ和Ψ是A上的两个同余关系,Ψ包含于Φ。则Φ定义了A/Ψ上的一个同余类Θ:[a]~[b]当且仅当a与b关于 Φ同余([a]表示a所在的Ψ-等价类),并且A/Φ同构于(A/Ψ)/Θ。 ==视频== ===<center> 同构基本定理 相关视频</center>=== <center>同构的原理是啥?同构的母函数是啥?如何变形?</center> <center>{{#iDisplay:q3158l2y0rb|560|390|qq}}</center> <center>同构函数系列1:同构函数秒杀函数压轴选填</center> <center>{{#iDisplay:k3141u48zov|560|390|qq}}</center> ==参考文献== [[Category:310 數學總論]]
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