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四胞胎素数,又叫10以内的连续4个素数

四生素数的公式

有一条定理:“若自然数s-4,s-2,s+2,s+4都不能被不大于{S+4}½任何素数整除,则 s-4,s-2,s+2,s+4是一组10以内的四生素数,称为四胞胎素数组”。只是因为一个自然数n 是素数,当且仅当n不能被任何不大于n½的素数整除。 《代数学辞典》259页,上海教育出版社1985年屉部贞市朗著【日】

这句话可以用公式表达:

S=p1m1+g1=p2m2+g2=...=pkmk+gk。(1)

其中 p1,p2,...,pk表示前面k个顺序素数2,3,5,....。g≠2,4,pi-2,pi-4。

若s<P2k+1-4,则s-4,s-2,s+2,s+4是一组四胞胎素数。

(1)式的同余形式:

S ≡g1(modp1), S ≡g2 (mod{p2), ..., S ≡gk(mod{pk)。(2)

  由于(2)的模p1,p2,...,pk都是素数,因此两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的g值, (2)式在 p1p2...pk范围内有唯一解。

例如:

k=2时,S=2m1+1=3m2。解得S=9和15。

9和15<52-4,

得知:

9-4,9-2,9+2,9+4是一组10以内的四胞胎素数;

15-4,15-2,15+2,15+4是一组10以内的四胞胎素数。

k=3时,S=2m1+1=3m2=5m3

解得S=45,45=72-4;45 ≮ 72-4,所以,45-4,45-2,45+2,45+4不是一组10以内的四生素数。

k=4时,

S=2m1+1=3m2=5m3=7m4=105;

S=2m1+1=3m2=5m3=7m4+1=225;

S=2m1+1=3m2=5m3=7m4+6=195。

105<112-4=117。所以105-4,105-2,105+2,105+4是一组10以内的四生素数。

仿此下去,可以一个不漏地求得全部四胞胎素数组。

根据孙子定理得知,对于所有可能的g值,(1)式(2)式在p1p2...pk范围内有 p1-1)(p2-1)(p3-4)(p4-4)...(pk-4)个解。


四胞胎素数猜想就是说,在k值任意大时(1)和(2)式都有小于p2k+1-4的解。即四胞胎素数无穷组。 问题在一个初等数论范围。 参考资料 【孪生质数公式】(中等数学-2000年1期)