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  複流形

在數學中,特別是在微分幾何和代數幾何中,複流形是具有復結構的微分流形,即它能被一族坐標鄰域所覆蓋,其中每個坐標鄰域能與n維複線性空間中的一個開集同胚,從而使坐標區域中的點具有復坐標 (z1,…,zn),而對兩個坐標鄰域的重疊部分中的點,其對應的兩套復坐標之間的坐標變換是全純的。稱n為此複流形的復維數。一個n維複流形也是2n維的(實)微分流形。

目錄

簡介

單複變函數論中的全純函數的反函數經常出現多值情形,因此定義域便從複平面擴產到黎曼曲面,使得在黎曼曲面上這個全純函數的反函數單值化。無支點的黎曼曲面的推廣,就是複流形。注意,n 維複流形是一類特殊的 2n 維實流形,即具有復結構 J 的 2n 維實流形。上面提到黎曼曲面是由全純函數的反函數單值化產生的。而在多復變情形,從解析開拓的角度,可以看出復歐幾里得空間中的域上的全純函數,在作解析開拓後,會產生複流形。所以有些函數論問題,僅局限在 n 維復歐幾里得空間 上考慮是不夠的,必須擴產到複流形上討論。這就是為什麼在多複變函數論中,複流形的概念是不可缺少的。關於複流形的研究,緊複流形比一般情形要成熟些。

評價

對復射影空間CPn描述如下:設Cn+1是復n+1維的複線性空間,Cn+1\{0}是從Cn+1中去掉原點後所得到的空間。對於其中任意兩個點z=(z0,...,zn)和w=(w0,...,wn),如果存在非零複數λ∈C\{0} 使z=λw,則稱z和w等價,按照這個等價關系所得到的商空間記做CPn,它是一個n維的複流形。Cn+1中的點(z0,...,zn)所在的等價類,被看成是CPn中的點,記做(z0:...:zn),稱為齊次坐標。直觀地說,CPn就是Cn+1中所有過原點的復直線(即二維實平面)的集合對CPn中的任一點p,設(z0(p):...:zn(p))是它的齊次坐標,那麼{(z0,...,zn);|z0|2+...+|zn|2=1}是Cn+1中以原點為中心的單位球面S2n+1上的一點。我們知道,S2n+1的子集{(λz0,...,λzn);|z0|2+...+|zn|2=1,|λ|=1,λ∈C}是S2n+1上的一個大圓。給定p點,即點(z0(p):...:zn(p)),它所確定的S2n+1上點的全體恰好組成了一個大圓,因此CPn也可看成S2n+1中的大圓的全體。[1]

參考文獻

  1. 複流形搜狗