完美正方形

完美正方形是一个科技术语。指在一正方形内切割出大小都相异的小正方形。此概念最早由莫伦提出，完美正方形的最小阶数为21阶。^[1]

探究历程

数学家们一度花了很大精力都无任何结果，再加上立方体填充已经被证明不存在，以至于1930年苏联著名数学家鲁金猜想，不可能把一个正方形分割成有限个大小不同的正方形。

莫伦对此猜想提出了挑战，并提供了一个解决思路：如果同一个矩形有两个不同的正方形剖分，且其中一个剖分的每个正方形都不同于另一个剖分的每个正方形，那么，这两个剖分再添上两个正方形（它异于两个剖分中的任何一个正方形），便可构造出一个完美正方形。而在此之前，完美矩形已经有了比较丰富的成果。

1939年，斯普拉格按照莫伦的构想成功地构造出一个55阶的完美正方形，其边长为4205。

几个月后，阶数更小（28阶）、边长更短(1015)的完美正方形由剑桥大学三一学院的四位大学生构造出来。

1948年，威尔科克斯构造出24阶完美正方形，但其中含有一个完美矩形（此类正方形被称为混完美正方形。完全由正方形构造成的正方形称为纯完美正方形）。一直到1978年，这个纪录才被打破。

1967年，威尔森构造成功25阶、26阶完美正方形。

1962年，荷兰特温特技术大学的杜伊维斯廷证明：

不存在20阶及以下的完美正方形。

1978年，杜伊维斯廷借助计算机技术，成功地构造出一个21阶的完美正方形，它是唯一的，且它不仅阶数最低，同时数字也更简单，此外构造上它也有许多优美的特点，比如2的某些次幂恰好位于一条对角线上，等等。

杜伊维斯廷同时还证明了：低于21阶的完美正方形不存在。

1982年，杜伊维斯廷又证明了：不存在低于24阶的混完美正方形。

1992年，布卡姆和杜伊维斯廷给出了21~28阶全部207个纯完美正方形：

至此，完美正方形的讨论暂时画上一个句号。但数学家的研究并没有停止，他们又研究了不同大小正方形是否可以填充整个平面的问题，此外他们还将完美剖分的问题推广到莫比乌斯带、圆柱面、环面和克莱因瓶上，也取得了许多有趣的成果。

截至2018年，已经知道21~35阶完美正方形的个数：1，8，12，30，172，541，1372，3949，10209，26234，71892，196357，528866，1420439，3784262。

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