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| 平方数 |
平方数（或称完全平方数），是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如，9 = 3 × 3，9是一个平方数。
简介
著名数学家毕达哥拉斯发现有趣奇数现象：从1开始将连续奇数相加，每次的得数正好就产生完全平方数。 如：1 + 3(=2²) + 5(=3²) + 7(=4²) + 9(=5²) + 11(=6²) + 13(=7²)……在奇数和平方数之间有着密切的重要联系。一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。对于一个整数 n，它的平方写成 n²。n²等于头 n个正奇数的和。在上图中，从1开始，第 n个平方数表示为前一个平方数加上第 n个正奇数，如 5² = 25 = 16 + 9。即第五个平方数25等于第四个平方数16加上第五个正奇数：9。每个完全平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为 n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。
评价
完全平方数还可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以将其解释为在边长为 3 的矩形上添加宽度为 1 的一行和一列，即得到边长为 4 的矩形。这对于计算较大的数的完全平方数非常有用。例如： 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的数。若一个正整数可以表示因子中没有形如 4k + 3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。平方数必定不是完全数。奇数的平方除以4余1，偶数的平方则能被4整除。a²-b²=(a+b)(a-b)。一个平方数是两个相邻三角形数之和。两个相邻平方数之和为一个中心正方形数。所有的奇数平方数同时也是中心八边形数。四平方和定理说明所有正整数均可表示为最多四个平方数的和。特别的，三个平方数之和不能表示形如 4(8m+ 7) 的数。若一个正整数可以表示因数中没有形如 4k+3 的素数的奇次方，则它可以表示成两个平方数之和。[1]