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平面角

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中文名；平面角 拼音；píng miàn jiǎo 注音；ㄆㄧㄥˊ ㄇㄧㄢˋ ㄐㄧㄠˇ

平面角由射线——点——射线构成，是从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形。 平面角的大小定义为以两射线交点为圆心的圆被射线所截的弧长与半径之比，单位包括弧度和角度、角分、角秒等。

具体定义

几何之父欧几里得曾定义角为在平面中两条不平行的直线的相对斜度。普罗克鲁斯认为角可能是一种特质、一种可量化的量、或是一种关系。欧德谟认为角是相对一直线的偏差，安提阿的卡布斯认为角是二条相交直线之间的空间。欧几里得认为角是一种关系，不过他对直角、锐角或钝角的定义都是量化的。   平面角是以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 或者从二面角的棱上任一点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 1.二面角就是用它的平面角来度量的。一个二面角的平面角多大，我们就说个二面角是多少度的二面角。 2.二面角的平面角与点（或垂直平面）的位置无任何关系，只与二面角的张角大小有关。

表示方法

角通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间。概述图中的角用∠AOB表示。但若在不会产生混淆的情形下，也会直接用顶点的字母表示，例如角∠O。 在数学式中，一般会用希腊字母（α,β,γ,θ,φ, ...）表示角的大小。为避免混淆，符号π一般不用来表示角度。 以角的端点为圆心做圆弧。由于圆弧的半径和弧长成正比，而角是长度的比例，所以圆的大小不会影响角的测量。 弧度：用角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的半径，一般记作rad。弧度是国际单位制中规定的角的度量，但却不是中国法定计量单位，角度则是角在中国的法定计量单位。此外，弧度在数学及三角学中有广泛的应用。 角度：由角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以360的结果，一般用°来标记，读作“度”。一度可以继续分为60“分”或3600“秒”。角度在天文学和全球定位系统中有重要应用。 梯度：是角在圆上所切出的圆弧的长度除以圆的周长再乘以400的结果。

其他测量单位

角度的量测可以视为弧长s和半径r的比例，再依选用单位乘以一比例系数

。

例如以上的弧度、角度和梯度，其转换系数n分别为

、360和400。

以下是一些其他的测量单位，对应不同的n值。 圈数或转数（n=1）：是指完整旋转一圈，依应用的不同，会简写为cyc、rev或rot，不过在每分钟转速（RPM）的单位中，只用一个字母r表示。 直角（n=4）：是1/4圈，是几何原本中用的角度单位，直角 = 90° =π/2rad = 1/4 turn = 100grad。在德文中曾用表示直角。 时角（n=24）：）常用在天文学中，是1/24圈。此系统是用在一天一个周期的循环（例如星星的相对位置），其六十进制下的子单位称为“时间分角”及“时间秒角”，这两个单位和角度的角分及角秒不同，前者大小为后者的十五倍。1时角 = 15° =π/12rad = 1/6quad. = 1/24turn≈ 16.667grad.。 米位（n=6000–6400）：此单位是指一个单位大约等于毫弧度的角度，有许多不同的定义，其数值从0.05625度到0.06度（3.375至3.6角分），而毫弧度约为0.05729578度（3.43775角分）。在北大西洋公约组织的国家中，米位定义为圆的1/6400。其数值大约等于一个角度的弧长为一米，其半径为一公里的角度（2π/ 6400 = 0.0009817… ≒ 1/1000）。 角分（n=21,600）：定义为一度的1/60，是1/21600圈，会用′表示，例如3°30′ 等于 3+30/60 度，也就是3.5度，有时也会出现小数，例如3°5.72′ = 3+5.72/60度。海里曾定义为在地球的大圆上一角分的弧长。 角秒（n=1,296,000）：定义为一角分的1/60，会用″表示，例如3°7′30″等于3 + 7/60 + 30/3600 度，或是3.125度。

正角和负角

以上角的定义均未考虑数值为负的角。不过在一些应用时，会将角的数值加上正负号，以标明是相对参考物不同方向的旋转。 在二维的笛卡儿坐标系中，角一般是以x轴的正向为基准，若往y轴的正向旋转，则其角为正角，若往y轴的负向旋转，则其角为负角。若二维的笛卡儿坐标系也是x轴朝右，y轴朝上，则逆时针的旋转对应正角，顺时针的旋转对应负角。 一般而言，−θ角和一圈减去θ所得的角等效。例如−45°和360°−45°（=315°）等效，但这只适用在用角表示相对位置，不是旋转概念时。旋转−45°和旋转315°是不同的。 在三维的几何中，顺时针及逆时针没有绝对的定义，因此定义正角及负角时均需列出其参考的基准，一般会以一个通过角的顶点，和角所在平面垂直的向量为基准。 在导航时，导向是以北方为基准，正向表示顺时针，因此导向45°对应东北方。导向没有负值，西北方对应的导向为315°。

量测角的方法

除了量测角本身的大小外．也有其他的方式，可以量测角的大小。 坡度等于一个角的正切值，常用百分比或千分比来表示。当一个角的坡度小于5%时，其坡度近似于角以弧度表示的数值。 在有理几何学中，一个角的大小是以伸展度（spread）来表示，伸展度定义为角对应正弦的平方，而任一角正弦的平方和该角补角正弦的平方相等。因此任一角和其补角在有理几何学中是等同的。

角的种类

零角角度等于0°,或一条线 锐角角度大于0°且小于90°，或弧度大于0且小于π/2的角。 直角角度等于90°，或弧度为π/2的角。 钝角角度大于90°且小于180°，或弧度大于π/2且小于π的角。 平角角度等于180°，或弧度为π的角。 优角或反角角度大于180°且小于360°，或弧度大于π且小于2π的角。 周角角度等于360°，或弧度为2π的角。

参考来源

二面角概念及其平面角