Gromov的一个基本定理断言：在任何维数，曲率有界、直径有界的黎曼流形的贝蒂数之和一致有界。1990年，Grove提出一个公开问题：是否上述流形的上同调环同构类个数也一致有界？应用有理同伦论方法，方复全-戎小春给出了该问题的第一个反例。<br>

该成果激发了包括国际数学家大会特邀报告人Totaro、瑞士数学会理事长Dessai等知名专家的后续工作，被欧美数学家写入牛津大学研究生教材，作为其中第六章的主题之一，小节标题为方-戎方法，约七页篇幅重述这一工作，还被他人列为德国著名黑森林研究所学术会议专题讨论。<br>

3.曲率与对称性<br>

独立或与人合作，方在这一课题的成果分别被获得美国数学会Steele奖的Lazarsfeld名著、牛津数学专著“Sasakian几何”引用，两个定理被后者全文转载，其中之一被称为“相当有趣和显然rather deep”。韩国数学家Kim在一篇论文的引言中指出“近来…出色进展主要归功于...Fang...”。最近，方复全教授与人合作，在Acta Math.发表了一篇53页的论文，在正曲率Polar流形分类方面取得重要突破，并因此获邀在2014年国际数学家大会上做45分钟报告。<br>

4.几乎平坦流形<br>

几何大家Gromov引入了几乎平坦流形这一重要几何对象。丘成桐微分几何公开问题集第十个问题：“是否几乎平坦流形的斯蒂夫-惠特尼数为零”？1998年，张伟平院士向方复全教授指出了这一问题。经过十几年的努力，方复全与人合作，在一类情形解决了这个问题，论文发表于权威杂志Journal of Differential Geometry，审稿报告评价“这是该拓扑问题三十年来最重要的（the most important）结果”。<br>

4维流形（时空）是拓扑中基本的研究对象，它与其他维数拓扑有巨大差异，许多基本的拓扑工具在4维失效。<br>

光滑情形：1963年，吴文俊和Haefliger-Hirsch独立解决了n维（n>4）光滑流形到R2n-1的光滑嵌入问题。1970年，Boechat-Haefliger证明：定向光滑4流形M可嵌入到R7与其相交型I(M)有关，但其证明相当复杂。同年，嵌入理论的领军人物Haefliger在国际拓扑会议上公开提出：“是否w3(M)=0、不可定向的4维光滑流形可光滑嵌入到R7”。在发表于1994年权威杂志Topology的论文中，方复全完全解决了Haefliger公开问题，还给出Boechat-Haefliger定理极为简单的新证明。并首次指出，由菲尔兹奖得主唐纳森的代表作和Boechat-Haefliger定理可以看出：“任何定向光滑4维流形可光滑嵌入到R7”。著名拓扑学家姜伯驹院士在推荐书中称该工作“为Haefliger-Hirsch、吴文俊等人工作后遗留30多年未决的重要问题画上句号”。在德国Hausdorff研究所创始所长、Oberwolfach研究所前所长、著名拓扑学家Kreck等人文章中明确肯定了方复全对四维定向以及非定向光滑流形嵌入问题最终解决的贡献。

非光滑情形：1995年，美国科学院院士Kirby在其著名的低维拓扑问题集（更新版）中指出：4维拓扑流形情况尚未解决。基于方复全的上述工作，2002年，方复全在Topology再次撰文，肯定地解决了Kirby的问题。

3.Ricci流与4维拓扑

基于Ricci流，佩尔曼证明了3维庞加莱猜想。一个自然的问题是：可否用Ricci流研究4维拓扑？与学生合作，方复全首次发现很多4维流形上Ricci流不存在任何非奇异解，证明了“若4维流形M上Ricci流非奇解存在，则M的欧拉示性数χ(M)≥0”。更进一步，若M的Yamabe不变量非正，则χ(M)≥3/2|τ(M)|,其中τ(M)为M的符号差，拓展了Hitchin（邵逸夫奖得主）关于爱因斯坦流形的著名不等式。在日本数学家Ishida等人的论文中，该不等式以及其中的猜想都被称命名为FZZ不等式和FZZ猜想，并作为节标题。<br>

沃尔夫奖得主Sullivan猜想：完全交的拓扑由其欧拉数、庞氏数以及全次数决定（也是科技部组织编写的1万个科学难题之一）。方复全与人合作，在四维拓扑情形完全解决了该猜想。在一般情形，方复全完全解决了完全交同伦型的Libgober-Wood猜想。<br>

类似结果由Petrunin-Tuschmann独立获得，论文发表于GAFA同一期。Petrunin也获邀在2002年的国际数学家大会做45分钟报告，重点介绍这一成果。<br>