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| − | + | 中文名；曲率 | |
| − | + | 外文名；curvature | |
| + | 全称；曲线的曲率 | ||
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| − | 曲线的'''曲率'''（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。 | + | 曲线的'''曲率'''（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对[[ 弧长]] 的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。 |
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| + | 数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的[[ 数值]] 。 | ||
| − | 曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。<ref>[ ], , | + | 曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率[[ 半径]] 。<ref>[https://www.zhihu.com/question/25952605 如何简明地解释曲率(curvature)? ], 知乎 , 2019年7月17日</ref> |
==定义== | ==定义== | ||
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==等价定义== | ==等价定义== | ||
| − | 弧 之比的绝对值称作该弧的平均曲率，记作 | + | 弧 之比的绝对值称作该弧的平均[[ 曲率]] ，记作当。 |
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==计算公式== | ==计算公式== | ||
| − | 设曲线的直角坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M处的切线的斜率为 | + | 设曲线的直角坐标方程为y=f（x），且y=f（x）具有二阶导数，曲线在点M处的切线的斜率为,所以,故曲线L在M点处的曲率为给出，利用参数方程求导法可得 |
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==曲率圆与曲率半径== | ==曲率圆与曲率半径== | ||
| − | 曲线上点M处的曲率的倒数，称作曲线在这点处的曲率半径，记作 | + | 曲线上点M处的曲率的[[ 倒数]] ，称作曲线在这点处的曲率半径，记作,则 |
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| − | 为半径作圆。把这个圆称作曲线在点M处的曲率圆，把圆心D称做曲线在M处的曲率中心。 | + | 为半径作圆。把这个圆称作曲线在点M处的曲率圆，把圆心D称做曲线在M处的曲率[[ 中心]] 。 |
曲率圆具有以下性质： | 曲率圆具有以下性质： | ||
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（1）曲率圆与曲线在点M处有共同的切线和曲率； | （1）曲率圆与曲线在点M处有共同的切线和曲率； | ||
| − | （2）在点M邻近与曲线有相同的凹向； | + | （2）在点M邻近与[[ 曲线]] 有相同的凹向； |
| − | 因此，在实际工程设计问题中，常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化。 | + | 因此，在实际工程设计问题中，常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使[[ 问题]] 简化。 |
==意义== | ==意义== | ||
| − | 曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意义。 | + | 曲率是几何体不平坦程度的一种[[ 衡量]] 。平坦对不同的几何体有不同的[[ 意义]] 。 |
本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。一般意义下的曲率，请参照曲率张量。 | 本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。一般意义下的曲率，请参照曲率张量。 | ||
| − | 在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。 | + | 在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。 |
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| + | 结合广义相对论的等效原理，变速运动的[[ 物体]] 可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。 | ||
| − | 按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。 | + | 按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由[[ 物体]] 的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不[[ 均匀]] ，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。 |
| − | 在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。 | + | 在物理中，曲率通常通过法向加[[ 速度]] （向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。 |
== 参考来源 == | == 参考来源 == | ||
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於 2022年6月3日 (五) 06:36 的修訂
| 曲率 |
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中文名；曲率 外文名；curvature 全稱；曲線的曲率 |
曲線的曲率（curvature）就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率，通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度。
數學上表明曲線在某一點的彎曲程度的數值。
曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大。曲率的倒數就是曲率半徑。[1]
定義
共變導數D的曲率為算子F，定義為
F=D2:Ω0(E)→Ω2(E)。
等價定義
弧 之比的絕對值稱作該弧的平均曲率，記作當。
計算公式
設曲線的直角坐標方程為y=f（x），且y=f（x）具有二階導數，曲線在點M處的切線的斜率為,所以,故曲線L在M點處的曲率為給出，利用參數方程求導法可得
曲率圓與曲率半徑
曲線上點M處的曲率的倒數，稱作曲線在這點處的曲率半徑，記作,則
為半徑作圓。把這個圓稱作曲線在點M處的曲率圓，把圓心D稱做曲線在M處的曲率中心。
曲率圓具有以下性質：
（1）曲率圓與曲線在點M處有共同的切線和曲率；
（2）在點M鄰近與曲線有相同的凹向；
因此，在實際工程設計問題中，常用曲率圓在點M鄰近的一段圓弧來近似代替曲線弧，以使問題簡化。
意義
曲率是幾何體不平坦程度的一種衡量。平坦對不同的幾何體有不同的意義。
本文考慮基本的情況，歐幾里得空間中的曲線和曲面的曲率。一般意義下的曲率，請參照曲率張量。
在動力學中，一般的，一個物體相對於另一個物體做變速運動時也會產生曲率。這是關於時空扭曲造成的。
結合廣義相對論的等效原理，變速運動的物體可以看成處於引力場當中，因而產生曲率。
按照廣義相對論的解釋，在引力場中，時空的性質是由物體的「質量」分布決定的，物體「質量」的分布狀況使時空性質變得不均勻，引起了時空的彎曲。因為一個物體有質量就會對時空造成彎曲，而你可以認為有了速度，有質量的物體變得更重了，時空彎曲的曲率就更大了。
在物理中，曲率通常通過法向加速度（向心加速度）來求，具體請參見法向加速度。
參考來源
參考資料
- ↑ 如何簡明地解釋曲率(curvature)? ,知乎 , 2019年7月17日