開啟主選單

求真百科

曲率

來自 呢圖網 的圖片

中文名;曲率

外文名;curvature

全稱;曲線的曲率

曲線的曲率(curvature)就是針對曲線上某個點的切線方向角對弧長的轉動率,通過微分來定義,表明曲線偏離直線的程度。

數學上表明曲線在某一點的彎曲程度的數值

曲率越大,表示曲線的彎曲程度越大。曲率的倒數就是曲率半徑[1]

目錄

定義

共變導數D的曲率為算子F,定義為

F=D2:Ω0(E)→Ω2(E)。

等價定義

弧 之比的絕對值稱作該弧的平均曲率,記作當。

計算公式

設曲線的直角坐標方程為y=f(x),且y=f(x)具有二階導數,曲線在點M處的切線的斜率為,所以,故曲線L在M點處的曲率為給出,利用參數方程求導法可得

曲率圓與曲率半徑

曲線上點M處的曲率的倒數,稱作曲線在這點處的曲率半徑,記作,則

為半徑作圓。把這個圓稱作曲線在點M處的曲率圓,把圓心D稱做曲線在M處的曲率中心

曲率圓具有以下性質:

(1)曲率圓與曲線在點M處有共同的切線和曲率;

(2)在點M鄰近與曲線有相同的凹向;

因此,在實際工程設計問題中,常用曲率圓在點M鄰近的一段圓弧來近似代替曲線弧,以使問題簡化。

意義

曲率是幾何體不平坦程度的一種衡量。平坦對不同的幾何體有不同的意義

本文考慮基本的情況,歐幾里得空間中的曲線和曲面的曲率。一般意義下的曲率,請參照曲率張量。

在動力學中,一般的,一個物體相對於另一個物體做變速運動時也會產生曲率。這是關於時空扭曲造成的。

結合廣義相對論的等效原理,變速運動的物體可以看成處於引力場當中,因而產生曲率。

按照廣義相對論的解釋,在引力場中,時空的性質是由物體的「質量」分布決定的,物體「質量」的分布狀況使時空性質變得不均勻,引起了時空的彎曲。因為一個物體有質量就會對時空造成彎曲,而你可以認為有了速度,有質量的物體變得更重了,時空彎曲的曲率就更大了。

在物理中,曲率通常通過法向加速度(向心加速度)來求,具體請參見法向加速度。

參考來源

數一、數二 曲率

參考資料