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曲率

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中文名;曲率

外文名;curvature

全称;曲线的曲率

曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度。

数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值

曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径[1]

定义

共变导数D的曲率为算子F,定义为

F=D2:Ω0(E)→Ω2(E)。

等价定义

弧 之比的绝对值称作该弧的平均曲率,记作当。

计算公式

设曲线的直角坐标方程为y=f(x),且y=f(x)具有二阶导数,曲线在点M处的切线的斜率为,所以,故曲线L在M点处的曲率为给出,利用参数方程求导法可得

曲率圆与曲率半径

曲线上点M处的曲率的倒数,称作曲线在这点处的曲率半径,记作,则

为半径作圆。把这个圆称作曲线在点M处的曲率圆,把圆心D称做曲线在M处的曲率中心

曲率圆具有以下性质:

(1)曲率圆与曲线在点M处有共同的切线和曲率;

(2)在点M邻近与曲线有相同的凹向;

因此,在实际工程设计问题中,常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧来近似代替曲线弧,以使问题简化。

意义

曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意义

本文考虑基本的情况,欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。一般意义下的曲率,请参照曲率张量。

在动力学中,一般的,一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。

结合广义相对论的等效原理,变速运动的物体可以看成处于引力场当中,因而产生曲率。

按照广义相对论的解释,在引力场中,时空的性质是由物体的“质量”分布决定的,物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀,引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲,而你可以认为有了速度,有质量的物体变得更重了,时空弯曲的曲率就更大了。

在物理中,曲率通常通过法向加速度(向心加速度)来求,具体请参见法向加速度。

参考来源

数一、数二 曲率

参考资料

  1. 如何简明地解释曲率(curvature)? ,知乎 , 2019年7月17日