泛函积分
| 泛函积分 |
无限维分析学的一个新分支。它起源于量子物理学中的连续积分和概率论中的随机过程的样本空间的研究。泛函积分方法已深入到分理化量子场论、基本粒子理论、随机力学、马尔可夫场、统计物理和湍流理论等领域。同时，泛函积分正在与群表示论、巴拿赫空间几何学、微分方程论、随机过程理论相互渗透。这一切都使它成为现代分析学中的一个令人瞩目的学科。泛函积分的内容主要包括连续积分、柱测度、正定函数、拟不变测度理论等。
目录
简介
连续积分是指泛函沿着一类连续轨道的积分。1942年R.P.费因曼从最小作用量原理出发定义路径积分,它给出量子力学的另一种等价的表达形式,后人称为费因曼路径积分，它已在量子物理中被愈来愈多地引用。为简单起见，以有限个自由度的量子力学体系为例。通常这种体系的状态用满足薛定谔方程的复值的波函数Ψ描写。（这里Nn是规范因子）,然后将费因曼积分设想成当n→∞时上述积分的极限。但因为是随着n的增大而剧烈振荡的函数,故上述的极限实际上是不存在的。但费因曼积分非常富有启发性，许多物理学家运用这种路径积分及按他们的物理设想所提出的一些计算法则能很好地说明量子物理中的许多问题，例如从量子力学到经典力学的过渡等。同时，在量子场论中也出现了大量的类似的没有严格定义的连续积分。这就向数学家提出了建立路径积分的严格的数学基础的要求。它是泛函积分研究的重要课题之一。近40年中，人们利用解析开拓、广义函数、复值测度和振荡积分等各种手段去进行研究，尚未解决。
评价
那么，μ 是W0上关于φ 的拓扑连续的柱测度。从而W0是否成为样本空间的问题等价于柱测度μ 在W0∩φ上具有可列可加性。1959年，P.A.明洛斯证明了下面的基本定理：设φ是核空间，则φ的共轭空间(连续线性泛函全体)φ┡上的任何一个关于φ 的拓扑连续的柱测度都是可列可加的。所以φ 上的每一个广义随机过程都以φ┡为样本空间。1962年，夏道行证明，设B是具有基底{en,n≥1}的巴拿赫空间，φ是由{en,n≥1}张成的线性子空间,{en}是一列随机变量，并依概率1成立 令依概率收敛}，则W上关于B的拓扑连续的柱测度是可列可加的。这个结果的重要性不但在于它是明洛斯定理的推广而且在于它指出了柱测度可列可加性与巴拿赫空间结构的本质联系正定函数的表示问题和柱测度的可列可加性的关系极为密切。设φ 是拓扑线性空间，φ 按向量的加法成为交换的拓扑群。若ƒ是φ上的正定函数，W是φA上的线性子空间,且φ∈φ,φ=0等价于ƒ（φ）=0，对任何ƒ∈W；那么在W上有惟一的柱测度Λ，使 (g∈φ)。ƒ是 φ上的连续的正定函数的充要条件是柱测度Λ关于φ 的拓扑是连续的。因此，经典调和分析中的有限维空间上的博赫纳定理在无限维空间上的推广问题与研究柱测度的可列可加性是等价的。当 G是一般的交换的拓扑群时，可用G的特征标群G代替φ进行类似的讨论。根据关于柱测度可列可加性的明洛斯定理知道,核空间φ上的连续正定函数必是φ ┡上的概率测度的傅里叶变换。夏道行利用拟不变测度的理论对交换拓扑群上的正定函数的表示得到了很一般的结果，即对一类交换的拓扑群推广了博赫纳定理。[1]