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点集
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点集如:点用(x,y)表示。许多的点放在一起就组合成了点集。而{(1,1), (1,-5), (a,b),…, (-2,-3)}指(1,1), (1,-5),(a,b),…, (-2,-3)这些点放在一起组成的集合。

基本信息

中文名点集 ^[1]

外文名 Point Set

如:{(x,y)|y=x+1}指在直线y=x+1上的所有点的集合。

从形式上来说，"点集是集合而不是函数"这句话是大致是对的。函数是二元的数学关系(二元组)，一般它的定义需要借助集合来描述。点集只是元素是点的集合(由点构成的"一元组")，不是关系，因此不是函数。

但如果把点集作为某个集合的子集考虑，它的元素可以是以坐标形式表示的点(分成自变量和值这两组)，可以当作二元组而成为数学关系，因此又可能符合函数的定义，从而是函数。这时候点的表示形式(坐标--两组数)本身就蕴涵了函数的要素--自变量和值。

狄利克雷(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)给出的数学分析意义上的函数的正式定义(抄自中文Wiki`pedia):

从输入值集合X 到可能的输出值集合Y 的函数f(记作 f : X → Y)是X与Y的关系，满足如下条件:

f 是完全的:对集合X 中任一元素x 都有集合Y 中的元素y 满足x f y (x 与y 是f 相关的)。即，对每一个输入值，Y 中都有且只有一个与之对应的输出值。

f 是多对一的:若x f y 且x f z ，则y = z 。即，多个输入可以映射到一个输出，但一个输入不能映射到多个输出。

定义域中任一x 在对映域中唯一对应的y 记为f(x)。

比上面定义更简明的表述如下:从X 映射到Y 的函数f 是X 与Y 的直积X × Y 的子集。X 中任一x 都与Y 中的y 唯一对应，且有序对(x, y)属于f 。

X与Y的关系若满足条件(1)，则为多值函数。函数都是多值函数，但多值函数不都是函数。X与Y的关系若满足条件(2)，则为偏函数。函数都是偏函数，但偏函数不都是函数。

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k元数学关系的形式定义(资料出处同上):

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k 元关系在数学上有两种常见的定义。

定义1 在集合 X1、…、Xk 上的关系 L 是指集合的笛卡儿积的子集，写成 L X1 × … × Xk。因此，在此定义下， k 元关系简单是个 k 元组。

第二个定义用到数学上一个常见的习惯-说"某某为一 n 元组"即表示此一某某数学物件是由 n 组数学物件的描述来判定的。在于集合 k 上的关系 L中，会有 k+1 件事要描述，即 k 个集合加上一个这些集合笛卡儿积的子集。在此习惯下， L 可以说是一个 k'+1 元组。

定义2 在集合 X1、…、Xk 上的关系 L 是一个 k+1 元组 L = (X1, …, Xk, G(L)) ，其中 G(L) 是笛卡儿积X1 × … × Xk的子集，称之为 L 的"关系图"。

以上说的函数是映射的同义词。至于中学范围内说的函数，只是指定义域和值域都包含于实数集的一元(单值)函数(顺便忽略了对映域的概念)。