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综合除法

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中文名；综合除法 外文名；synthetic division 适用领域范围；数学

综合除法(synthetic division)是一种简便的除法，只通过乘、加两种运算便可计算到一元多项式除以(x - a)的商式与余式。

符号

Q 商式

R 余式

例题

( 2x^3 - 6x² + 11x - 6) ÷(x - 1)

解：Image:MathEquation.GIF

被除数：被除数的未知数应是降幂排列，抽取系数用以计算，但若题目的被除数出现降幂次数中没有3，则在演算的过程中在该系数的位置上补上0，然后如常计算。 　除数：除数中的未知数前的系数有时并不一定会是1，当出现别的系数时，如：3x – 2中的3，我们会把它变做3 (x - 2/3) ，同样以1来计算，但当得出结果的时候除余式外全部除以该系数。

∴答：商式Q = 2x² - 4x + 7

余式R = 1

注意：验算时，须谨记末项是余式之系数，即原被除式末项文字之系数。商式之首项文字必较原被除式之首项文字次数少1，余依齐次式类推。

因式分解

综合除法的依据是因式定理即若(x-a)能整除某一多项式，则(x-a)是这一多项式的一个因式。

用x－b除有理整式f(x)=A0+A1x+A2x²+…+An-1x^n-1+AnX^n所得的余数为f(b)=a0b+a1b+a2b+…+an-1b+an(余数定理)，若f(b)=0时，f(x)有x－b的因式．用综合除法找出多项式的因式，从而分解因式的方法．

例分解因式3x^3-4x^2-13x-6

∴原式=(x－3)(3x+2)(x+1).

说明：(1)用综合除法试商时，要由常数项和最高次项系数来决定．常数项的因数除以最高次项系数的因数的正负值都可能是除的整除商．上例中常数项是6，最高次项系数是3它们的因式可能是x±1，x±2，x±3，x±6，3x±1，3x±2．试除时先从简单的入手．

(2)因式可能重复．

方法介绍

另外告诉你一下有关综合除法的计算对这个很有帮助

比如(3x^4-6x^3+4x^2-1)÷（x-1）

将x-1的常数项-1做除数

将被除式的每一项的系数列下来 由高幂到低幂排列 缺项的系数用零代替，

将最高项的系数落下来，用除数-1乘以落下的3，得-3，写在第二项-6下，

用-6减-3写在横线下（ 补：若是用x-1=0的解 即取x=1作为除数 则是用加），再用-1乘以-3的3写在第三项4下，用4减3得1写在横线下一直除...直到最后一项得0

所以就有(3x^3-6x^2+4x-1)÷（x-1）=3x^2-3x+1……0

横线下的就是商式的每一项系数，而最后的一个就是余式

这里商式是3x^2-3x+1，余式是0

-1┃3 -6 4 -1 (用1 1┃3 -6 4 -1

（-） ┃ -3 3 -1 做除数（+ ) ┃ 3 -3 1

┗━━━━━ ┗━━━━━

3 -3 1 |0 -3 1 |0

又如(4x^3-3x^2-4x-1)÷(x+1)

-1┃ 4 -3 -4 -1

┃ -4 7 -3

┃ 4 -7 3┃-4

┗━━━━━━

4 -7 3|-4

所以(4x^3-3x^2-4x-1)÷（x+1）=4x^2-7x+3……-4

商式是4x^2-7x+3，余式是-4

注意！！这个方法仅用于除式为x-a的形式的多项式除法。

(但如果是ax+b的形式可表示为a（x+b/a）再相除）

综合除法在数学运算中的应用主要类型

多项式除以多项式；

应用于部分分式；

应用于求函数值；

应用于因式分解；

应用于高次方程；

应用于多项式变形；

应用于有理函数的积分。

总之,综合除法作为一种工具,在解决数学运算问题时使用方便,尤其是可以利用综合除法来解决多项式除以多项式、部分分式、求函数值、因式分解、高次方程、多项式变形、有理函数的积分等,具有化繁为简、应用方便、易于掌握的优点,是其它运算方法难以取代的,在数学运算有着广泛的应用空间,数学问题的研究中发挥极为重要的作用。

参考来源

基础数学 综合除法