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| − | + | ''' 诺特定理''' 是[[ 理论物理]] 的中心结果之一，它表达了连续对称性和守恒定律的一一对应。例如，[[ 物理定律]] 不随着时间而改变，这表示它们有关于时间的某种对称性。举例来说，若现实中重力的强度每天都有所改变，就会违反[[ 能量守恒定律]] ，因为观察者可以在重力弱的那天把重物举起，然后在重力强的时候放下来，这样就得到了比一开始输入的能量更多的能量。 | |
| − | 诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立的。它得名于20世纪初的数学家埃米·诺特。诺特定理和量子力学深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量（譬如位置和动量）。 | + | 诺特定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立的。它得名于20世纪初的[[ 数学家]] 埃米·诺特。诺特定理和[[ 量子力学]] 深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量（譬如位置和动量）。 |
==应用== | ==应用== | ||
| − | 诺特定理的应用帮助物理学家在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的定律的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如： | + | 诺特定理的应用帮助[[ 物理学家]] 在物理的任何一般理论中通过分析各种使得所涉及的[[ 定律]] 的形式保持不变的变换而获得深刻的洞察力。例如： |
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| + | *对于物理系统对于[[空间]]平移的不变性（换言之，物理定律不随着空间中的位置而变化）给出了动量的守恒律； | ||
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*对于转动的不变性给出了角动量的守恒律； | *对于转动的不变性给出了角动量的守恒律； | ||
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| − | 诺特荷 | + | *对于[[时间]]平移的不变性给出了著名的能量守恒定律。 |
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| + | 在量子场论中，和 诺特 定理相似，沃德－高桥恒等式（Ward-Takahashi）产生出更多的守恒定律，例如从电势和向量势的规范不变性得出[[电 荷]] 的 守恒 。 | ||
| + | 诺特荷也被用于计算静态[[黑洞]]的熵1。 | ||
==证明的一般化== | ==证明的一般化== | ||
| − | 这个推理可以应用到任何求导过程Q，不只是对称性求导，也可以是更一般的泛函微分作用，包括拉格朗日量依赖于场的更高阶的导数以及非局部作用量的情况。令ε为任意时空（或时间）流形的光滑函数，满足其支撑的闭包和边界不交。ε是一个测试函数。则根据变分原理（附带说一下，它不适用于边界），由q[ε][φ(x)]=ε(x)Q[φ(x)]生成的求导分布q满足q[ε][S]=0对于任何在壳的ε成立，或者可以简写为q(x)[S]对于所有不在边界上的x（注意q(x)是求导分布的简写，通常不是用x参数化的求导）。这就是诺特定理的一般化。 | + | 这个推理可以应用到任何求导过程Q，不只是对称性求导，也可以是更一般的泛函微分作用，包括拉格朗日量依赖于场的更高阶的导数以及非局部作用量的情况。令ε为任意时空（或时间）流形的光滑函数，满足其支撑的闭包和边界不交。ε是一个测试[[ 函数]] 。则根据变分原理（附带说一下，它不适用于边界），由q[ε][φ(x)]=ε(x)Q[φ(x)]生成的求导分布q满足q[ε][S]=0对于任何在壳的ε成立，或者可以简写为q(x)[S]对于所有不在边界上的x（注意q(x)是求导分布的简写，通常不是用x参数化的求导）。这就是诺特定理的一般化。 |
於 2020年4月3日 (五) 13:20 的修訂
諾特定理是理論物理的中心結果之一，它表達了連續對稱性和守恆定律的一一對應。例如，物理定律不隨着時間而改變，這表示它們有關於時間的某種對稱性。舉例來說，若現實中重力的強度每天都有所改變，就會違反能量守恆定律，因為觀察者可以在重力弱的那天把重物舉起，然後在重力強的時候放下來，這樣就得到了比一開始輸入的能量更多的能量。
諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立的。它得名於20世紀初的數學家埃米·諾特。諾特定理和量子力學深刻相關，因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量（譬如位置和動量）。
應用
諾特定理的應用幫助物理學家在物理的任何一般理論中通過分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。例如：
- 對於物理系統對於空間平移的不變性（換言之，物理定律不隨着空間中的位置而變化）給出了動量的守恆律；
- 對於轉動的不變性給出了角動量的守恆律；
- 對於時間平移的不變性給出了著名的能量守恆定律。
在量子場論中，和諾特定理相似，沃德－高橋恆等式（Ward-Takahashi）產生出更多的守恆定律，例如從電勢和向量勢的規範不變性得出電荷的守恆。
諾特荷也被用於計算靜態黑洞的熵1。
證明的一般化
這個推理可以應用到任何求導過程Q，不只是對稱性求導，也可以是更一般的泛函微分作用，包括拉格朗日量依賴於場的更高階的導數以及非局部作用量的情況。令ε為任意時空（或時間）流形的光滑函數，滿足其支撐的閉包和邊界不交。ε是一個測試函數。則根據變分原理（附帶說一下，它不適用於邊界），由q[ε][φ(x)]=ε(x)Q[φ(x)]生成的求導分布q滿足q[ε][S]=0對於任何在殼的ε成立，或者可以簡寫為q(x)[S]對於所有不在邊界上的x（注意q(x)是求導分布的簡寫，通常不是用x參數化的求導）。這就是諾特定理的一般化。