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| 豪斯多夫空间 |
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豪斯多夫空间,在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2 空间是其中的点都"由邻域分离"的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，"豪斯多夫条件"是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。
简介
假设 X 是拓扑空间。设 x 和 y 是 X 中的点。如果存在 x 的邻域 U 和 y 的邻域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ∅)，我们称 x 和 y 可以"由邻域分离"。X 是豪斯多夫空间如果任何两个X 的不同的点可以由邻域分离。这是豪斯多夫空间也叫做 T2 空间和分离空间的原因。
X 是预正则空间，如果任何两个拓扑可区分的点可以由邻域分离。预正则空间也叫做 R1 空间。
在这些条件之间的联系如下。拓扑空间是豪斯多夫空间，当且仅当它是预正则空间和柯尔莫果洛夫空间的二者(就是说独特的点是拓扑可区分的)。拓扑空间是预正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商空间是豪斯多夫空间。
评价
豪斯多夫空间的子空间和乘积是豪斯多夫空间，[1] 但是豪斯多夫空间的商空间不必须是豪斯多夫空间。事实上，所有拓扑空间都可以实现为某个豪斯多夫空间的商。
豪斯多夫空间是 T1 空间，这意味着所有单元素集合是闭集。类似的，预正则空间是 R0 空间。
豪斯多夫空间另一个美好的性质是紧致集合总是闭集。[2]这对于非豪斯多夫空间就可能失效(例如有其失效的 T1 空间的例子)。
豪斯多夫空间的定义声称点可以由邻域分离。它蕴涵了表象上更强的东西: 在豪斯多夫空间中所有成对的不相交的紧致集合都可以由邻域分离。[3] 这是紧致集合经常表现得如同点的一般规则的一个例子。
紧致性条件与预正则一起经常蕴涵了更强的分离公理。例如，任何局部紧致预正则空间都是完全正则空间。紧致预正则空间是正规空间，意味着它们满足Urysohn引理和Tietze扩张定理，并且有服从局部有限开覆盖的单位划分。这些陈述的豪斯多夫版本是: 所有局部紧致豪斯多夫空间是吉洪诺夫空间，而所有紧致豪斯多夫空间是正规豪斯多夫空间。
下列结果是关于来或到豪斯多夫空间的映射(连续函数和其他)的技术上的性质。
设 f : X → Y 是连续函数并假定 Y 是豪斯多夫空间。则 f 的图象 是 X × Y 的闭子集。
设 f : X → Y 是函数并设 是作为 X × X 的子空间的它的核。
如果 f 是连续函数并且 Y 是豪斯多夫空间则 ker(f) 闭集。
如果 f 是开满射而 ker(f) 是闭集则 Y 豪斯多夫空间。
如果 f 是连续开满射(就是开商映射)，则 Y 是豪斯多夫空间，当且仅当 ker(f) 是闭集。
如果 f,g : X → Y 是连续映射而 Y 豪斯多夫空间，则均衡子 在 X 是是闭集。可得出如果 Y 是豪斯多夫空间而 f 和 g 一致于 X 的稠密子集，则 f = g。换句话说，到豪斯多夫空间的连续函数确定自它们在稠密子集上的值。
设 f : X → Y 是闭满射使得 f−1(y) 对于所有 y ∈ Y 是紧致的。则如果 X 是豪斯多夫空间则 Y 也是。
设 f : X → Y 是商映射带有 X 是紧致豪斯多夫空间。则下列是等价的
Y 是豪斯多夫空间
f 是闭映射
ker(f) 是闭集[1]