態射

態射

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中文名: 態射 外文名: morphism 數學定義: 兩數學結構保持結構的過程的抽象 特 點: 態射不必是函數 應用學科: 數學 所屬領域: 範疇論

態射（morphism）是兩個數學結構之間保持結構的一種過程抽象。

目錄

定義

一個範疇C由兩個類給定：一個對象的類和一個態射的類。

有兩個操作定義在每個態射上，域（domain，或源）和陪域（codomain，或目標）。

態射經常用從域到他們的陪域的箭頭來表示，例如若一個態射f域為X而陪域為Y，它記為f:X→Y。所有從X到Y的態射的集合記為homC(X,Y)或者hom(X,Y)。（有些作者採用MorC(X,Y)或Mor(X,Y)）。

對於任意三個對象X，Y，Z，存在一個二元運算hom(X,Y)×hom(Y,Z) → hom(X,Z)稱為複合。f:X→Y和g:Y→Z的複合記為

或gf（有些作者採用fg）。態射的複合經常採用交換圖表來表示。例如

態射必須滿足兩條公理：

（1）存在單位態射：對於每個對象X，存在一個態射idX:X→X稱為X上的單位 態射，使得對於每個態射f:A→B我們有。

（2）滿足結合律：

在任何操作有定義的時候。

當C是一個具體範疇的時候，複合只是通常的函數複合，單位態射只是恆等函數，而結合律是自動滿足的。（函數複合是結合的。）

注意域和陪域本身是決定態射的信息的一部分。例如，在集合的範疇，其中態射是函數，兩個函數可以作為有序對的集合相等，但卻有不同的陪域。這些函數從範疇論的目的來說被視為不同。因此，很多作者要求態射類hom(X,Y)是不交的。實際上，這不是一個問題，因為如果他們不是不交的，域和陪域可以加到態射上，（例如，作為一個有序三元組的第二和第三個分量），使得它們不交（互斥，disjoint）。

對態射和它們定義於其間的結構(或對象)的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中，態射不必是函數，而通常被視為兩個對象(不必是集合 )間的箭頭。不象映射一個集合的元素到另外一個集合，它們只是表示域(domain)和陪域(codomain)間的某種關係。

儘管態射的本質是抽象的，多數人關於它們的直觀(事實上包括大部分術語)來自於具體範疇的例子，在那裡對象就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函數。

態射的類型

（1）同構

（isomorphism）:令f:X→Y為一個態射。若存在態射g:Y→X使得成立，則f稱為一個同構。g稱為f的逆態射，逆態射g如果存在就是唯一的，而且顯而易見g也是一個同構，其逆為f。兩個對象之間有一個同構，那麼這兩個對象稱為同構的或者等價的。同構是範疇論中態射的最重要種類。

（2）滿態射

（epimorphism）：一個態射f:X→Y稱為一個滿同態，如果對於所有Y→Z的態射g1，

成立。這也稱為epi或epic.具體範疇中的滿同態通常是滿射（surjective）函數，雖然並不總是這樣。

（3）單態射（monomorphism）：態射f:X→Y稱為單同態，如果對於所有Z→X的態射g1，g2，

成立。它也稱為mono或者monic.具體範疇中的單同態通常為單射（injective）函數。

（4）雙同態（bimorphism）：若f既是滿同態也是單同態，則稱f為雙同態（bimorphism）。

注意每個同構都是雙同態，但不是每個雙同態都是同構。例如，交換環的範疇中，包含映射Z → Q是一個雙同態，但不是一個同構。如果在一個範疇中每個雙同態都是同構，則這個範疇稱為一個平衡範疇。例如，集合是一個平衡範疇。

（5）自同態（endomorphism）：任何態射f:X→X稱為X上的一個自同態。

（6）自同構（automorphism）：若一個自同態也是同構的，那麼稱之為自同構。

（7）若f:X→Y和g:Y→X滿足 :X→X是冪等的。這種情況下，f和g稱為分割（split）.f稱為g的收縮（retraction）而g稱為f的截面。任何既是滿同態又是分割單同態的態射，或者既是單同態又是分割滿同態的態射必須是同構。

例子

最常見的這種過程的例子是在某種意義上保持結構的函數或映射。

在集合論中，態射就是函數。

在泛代數中研究的具體範疇（例如群，環，模，等等），態射稱為同態。術語同構，滿同態，單同態，自同態，和自同構也都適用於這個特殊範圍。

在拓撲空間範疇，態射是連續函數，而同構稱為同胚。

在光滑流形範疇中，態射是光滑函數而同構稱為微分同胚。

函子可以視為小範疇的範疇中的態射。

在函子範疇中，態射是自然變換。

態射(morphism)是一個數學對象A到另一個數學對象B的map關係。同態(homomorphism)是一個態射，表示一個數學結構A到另一個數學結構B的map關係，並且維持了數學結構上的的每一種操作*。例如：指數函數這個例子也說明同樣的操作符號在不同的數學結構中的定義可以不同。