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預序關係

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中文名: 預序關係 外文名: preorder，quasi-order 簡 稱: 預序 定 義: 接近於偏序關係的二元關係 應用學科: 數學 性 質: 自反性和傳遞性

預序關係（簡稱預序，又稱先序，preorder，quasi-order）、在數學中，是一類接近於偏序關係的二元關係，但僅滿足自反性和傳遞性而不滿足反對稱性。偏序的大多數理論均可擴展到預序。

定義

考慮集合 P 及其上的二元關係

。若具有自反性和传递性，则称为预序。具体来说，对 P 的任意元素 a，b 和 c，下列性质成立：

  自反性：a

a

傳遞性：若a c 帶預序的集合稱為預序集合（preordered set，或者proset）。 同時滿足反對稱性（若 a a，則 a = b）的預序為偏序。 另一方面，如果一個預序滿足對稱性（若a a），則為等價關係。

說明

作為特例，空集上的空關係為一預序。空集加上空關係構成一預序集。

導出偏序

將預序集的等價元素等同起來，可得到由該預序集所導出的偏序集。具體過程如下：定義預序集 X 上的等價關係 的定義與所選等價類的代表元素無關，故上述定義明確。易證該關係為一偏序。

舉例

有向圖（可以包括圈）上的可到達關係給出了一個預序≤，對於有向圖中的任意兩點x, y，x≤y當且僅當存在一條由x到y的路徑。反過來說，每個預序都可理解為一個有向圖上的可到達關係。（比如，如果x≤y的話，就規定這個圖包含由x到y的有向邊。）不過，這種對應關係不是唯一的。不同的圖也可以給出相同的可到達關係。而同樣地，有向無環圖上的可到達關係也誘導出一個偏序。 拓撲中網的收斂定義使用預序比使用偏序可避免重要特徵的丟失。 可數全序間的嵌入（embedding）關係。 圖論中的graph-minor關係。 全預序的例子：一般模型中的偏好概念。

參見

二元關係 偏序關係 全序關係 等價關係 有向集合 預序範疇 預良序