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''' 曲线 ''' 的普通定义就是在 [[ 几何 ]] 空间中的“弯曲了的线”。而直线是一种特殊的曲线，只不过它的曲率为零。在《解析几何》中，曲线用一组连续函数的方程组来表示。

曲线和 [[ 直线 ]] 都是指欧几里得几何所定义的欧几里得空间中的相关概念。此外，还存在多种不为多数人所知的非欧几里得几何，其中的直线和曲线的定义和欧几里得几何的定义有很大差别，甚至不能类比。想深入学习 [[ 数学 ]] 的人切忌将不同几何空间中的同名概念相互混淆。

按照经典的定义，从(a（a,b) ） 到R3中的连续映射就是一条曲线，这相当于是说：

(1)R3中的曲线是一个一维 [[ 空间 ]] 的连续像，因此是一维的。

(3)说 [[ 参数 ]] 的某个值，就是说曲线上的一个点，但是反过来不一定，因为我们可以考虑自交的曲线。

[[ 微分几何 ]] 就是利用微积分来研究几何的学科。为了能够应用 [[ 微积分 ]] 的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。这就要我们考虑可微曲线。但是可微曲线也是不太好的，因为可能存在某些曲线，在某点切线的方向不是确定的，这就使得我们无法从切线开始入手，这就需要我们来研究导数处处不为零的这一类曲线，我们称它们为正则曲线。 正则曲线才是经典曲线论的主要研究对象。

曲线：任何一根连续的线条都称为曲线。包括直线、 [[ 折线 ]] 、线段、圆弧等。曲线是1-2维的图形，参考《分数维空间》。 处处转折的曲线一般具有无穷大的长度和零的面积，这时，曲线本身就是一个大于1小于2维的空间。微分几何学研究的主要对象之一。直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。曲线的更严格的定义是区间α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。有时也把这映射的像称为曲线。

具体地说，设Oxyz是欧氏空间E3中的 [[ 笛卡儿 ]] 直角坐标系，r为曲线C上点的向径，于是有。上式称为曲线C的参数方程，t称为曲线C的参数，并且按照参数增加的方向自然地确定了曲线C的正向 （图1） 。曲线论中常讨论正则曲线，即其三个坐标函数x(t)，y(t)，z(t)的导数均连续且对任意t不同时为零的曲线。对于正则曲线，总可取其弧长s作为参数，它称为自然参数或弧长参数。弧长参数s用 来定义，它表示曲线C从r(α)到r(t)之间的长度,以下还假定曲线C的坐标 [[ 函数 ]] 都具有三阶连续导数，即曲线是C3阶的。