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波函数
,创建页面，内容为“{{pp-semi-sock|expiry=2018-03-28T02:31:03+00:00|small=yes}} {{noteTA|G1=物理学|1=zh-hans:本征; zh-hant:本徵;|2=zh-hans:复函数; zh-hant:複函数;|3=zh-hans…”
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{{向量字体}}
[[File:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|200px|thumb|right|设想经典力学里的[[谐振子 ]]系统（A-B），一条[[弹簧]]的一端固定不动，另一端有一个带质量圆球；在[[量子力学]]里， （C-H）展示出同样系统的[[薛丁格方程式]]的六个波函数解。横轴坐标表示位置，竖轴坐标表示波函数[[机率幅]]的实部（蓝色）或虚部（红色）。（C-F）是定态，（G、H）不是定态。定态的能量为[[驻波]]振动频率与约化普朗克常数的乘积。]]
在[[量子力学]]里，量子系统的[[量子态]]可以用'''波函数'''（{{lang-en|wave function}}）来描述。[[薛丁格方程式]]设定波函数如何随著时间流逝而演化。从数学角度来看，薛丁格方程式乃是一种[[波动方程式]]，因此，波函数具有类似波的性质。这说明了波函数这术语的命名原因。
波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是一种[[複值]][[函数]]，表示粒子在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、时间 <math>t</math> 的[[机率幅]]，它的绝对值平方 <math>|\Psi(\mathbf{r},t)|^2</math> 是在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、时间 <math>t</math> 找到粒子的[[机率密度]]。以另一种角度诠释，波函数<math>\Psi (\mathbf{r},t)</math>是「在某时间、某位置发生相互作用的概率幅」。<ref>{{cite journal
| last =Hobson
| first =Art
| title =There are no particles, there are only fields
| journal =American Journal of Physics
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| issue =211
| year =2013
| url =http://arxiv.org/abs/1204.4616
| doi =10.1119/1.4789885
}}</ref>
波函数的概念在量子力学里非常基础与重要，诸多关于量子力学诠释像谜一样之结果与困惑，都源自于波函数，甚至今天，这些论题仍旧尚未获得满意解答。
== 历史 ==
[[File:Broglie Big.jpg|right|thumb|150px|路易·德布罗意]]
[[File:Erwin Schrodinger2.jpg|right|thumb|150px|埃尔温·薛丁格]]
在1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为[[路易·德布罗意]]和[[埃尔温·薛丁格]]等等，他们使用的数学工具是[[微积分]]，他们共同创建了[[波动力学]]。第二个阵营的成员主要为[[维尔纳·海森堡]]和[[马克斯·玻恩]]等等，使用[[线性代数]]，他们建立了[[矩阵力学]]。后来，薛丁格证明这两种方法完全等价。<ref>
{{Citation
| last = Hanle
| first = P.A.
| title = Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory.
| journal = Isis
| volume = 68
| issue = 4
| pages =
| date = December 1977
| doi = 10.1086/351880
}}</ref>{{rp|606–609}}
德布罗意于1924年提出的[[德布罗意假说]]表明，每一种微观粒子都具有[[波粒二象性]]。[[电子]]也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的[[物质波]]频率与波数。既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的[[波动方程式]]，这点子给予[[埃尔温·薛定谔]]极大的启示，他因此开始寻找这波动方程式。薛定谔参考[[威廉·哈密顿]]先前关于[[牛顿力学]]与[[光学]]之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零[[波长]]极限，[[物理光学]]趋向于[[几何光学]]；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守[[最小作用量原理]]。哈密顿认为，在零波长极限，[[波传播]]趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程式来描述这波动行为，而薛定谔给出了这方程式。他从[[哈密顿-雅可比方程]]成功地推导出薛定谔方程式。<ref name="Moore1992"/>{{rp|207}}他又用自己设计的方程式来计算[[氢原子]]的[[谱线]]，得到的答案与用[[波耳模型]]计算出的答案相同。他将这波动方程式与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界<ref>{{Citation|last = 薛定谔|first = 埃尔温|author-link = 薛定谔|title = Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen|publisher = Annalen der Physik, (Leipzig)|year = 1926|volume = 79|url = http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schrodinger1926c.pdf}}
[德文原稿]</ref><ref name=Helge>{{cite book
| last =Kragh
| first =Helge
| title =Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century
| publisher =Princeton University Press
| edition =illustrated, reprint
| date =2002
| isbn =9780691095523
}}</ref>{{rp|163-167}}。从此，量子力学有了一个崭新的理论平台。
薛丁格给出的薛定谔方程式能够正确地描述波函数的量子行为。那时，物理学者尚未能解释波函数的涵义，薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。1926年，玻恩提出[[机率幅]]的概念，成功地解释了波函数的物理意义<ref name="Moore1992">{{Citation|last=Moore|first=Walter John|title=Schrödinger: Life and Thought|year=1992| location=England | publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-43767-9 | language=en}}</ref>{{rp|219-220}}。可是，薛定谔本人不赞同这种[[统计]]或[[机率]]方法，和它所伴随的非连续性[[波函数塌缩]]，如同爱因斯坦认为量子力学只是个[[决定论|决定性理论]]的统计近似，薛定谔永远无法接受[[哥本哈根诠释]]。在他有生最后一年，他写给玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这意见。<ref name="Moore1992"/>{{rp|479}}
1927年，[[道格拉斯·哈特里]]（Douglas Hartree）与[[弗拉基米尔·福克]]（Vladimir Fock）在对于[[多体问题|多体]]波函数的研究踏出了第一步，他们发展出[[哈特里－福克方程]]来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出，后来福克将之加以改善，能够符合包立不相容原理的要求。<ref>{{cite book
| last1 =Atkins
| first1 =Peter
| last2 =de Paula
| first2 =Julio
| title =Physical Chemistry
| publisher =W. H. Freeman
| edition =8th
| date =2006
| isbn =978-0716787594 }}</ref>{{rp|344-345}}
薛定谔方程式不具有[[劳仑兹不变性]] ，无法淮确给出符合相对论的结果。薛定谔试著用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程式，并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程式给出的精细结构不符合[[阿诺·索末菲]]的结果，又会给出违背量子力学的负机率和怪异的负能量现象，他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁，先行发表前面提到的非相对论性部分。<ref name="Moore1992"/>{{rp|196-197}}<ref name=McMahon>{{cite book
| last =McMahon
| first =David
| title =Quantum Field Theory Demystified
| publisher =McGraw Hill Professional
| date =2008
| isbn =9780071643528
}}</ref>{{rp|3}}
1926年，[[奥斯卡·克莱因]]（Oskar Klein）和[[沃尔特·戈尔登]]（Walter Gordon）将[[电磁相对作用]]纳入考量，独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分，并且证明其具有劳仑兹不变性。这方程式后来称为[[克莱因-戈尔登方程式]]。<ref name=McMahon/>{{rp|3}}
1928年，[[保罗·狄拉克]]最先成功地统一了[[狭义相对论]]与量子力学，他推导出[[狄拉克方程式]]，适用于电子等等[[自旋]]为1/2的粒子。这方程式的波函数是一个[[旋量]]，拥有自旋性质。<ref name=Helge/>{{rp|167}}
==概述==
[[File:1D Wavefunctions with Energies.svg|right|200px|thumb|在一维[[无限深方形阱]]内，粒子的能级与对应的波函数。]]
[[File:1D Probability Density with Energies.svg|right|200px|thumb|在一维无限深方形阱内，找到能级为 <math>n</math> 的粒子的机率。]]
===位置空间波函数===
假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 <math>\Psi(x,t)</math> ；其中，<math>x</math> 是位置，<math>t</math> 是时间。波函数是[[复数|複值]]函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的，而是机率性的。粒子的位置 <math>x</math> 在区间 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le x\le b</math> ）的[[机率]]<math>P_{a\le x\le b}</math>为
:<math>P_{a\le x\le b} = \int\limits_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d} x</math> ；
其中，<math>t</math> 是对于粒子位置做测量的时间。
换句话说，<math>|\Psi(x,t)|^2</math> 是粒子在位置 <math>x</math> 、时间 <math>t</math> 的机率密度。
这导致归一化条件：在位置空间的任意位置找到粒子的机率为100%：
:<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \, |\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x = 1</math> 。
===动量空间波函数===
在动量空间，粒子的波函数表示为 <math>\Phi(p,t)</math> ；其中，<math>p</math> 是一维动量，值域从 <math>-\infty</math> 至 <math>+\infty</math> 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的，而是机率性的。粒子的动量 <math>p</math> 在区间 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le p\le b</math> ）的机率为
:<math>P_{a\le p\le b} = \int\limits_a^b \,|\Phi(p,t)|^2 \mathrm{d}p</math> 。
动量空间波函数的归一化条件也类似：
:<math> \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, \left | \Phi ( p, t ) \right |^2 \mathrm{d}p = 1</math> 。
===两种波函数之间的关系===
[[File:Quantum mechanics travelling wavefunctions.svg|right|250px|thumb|本图展示一维零自旋[[自由粒子]]的波函数范例，左边是位置空间波函数 <math>\Psi(x)</math> 的实部（紫色）和机率密度 <math>|\Psi(x)|^2</math> （红色），右边是动量空间波函数 <math>\Phi(p)</math> 的实部（金色）和机率密度 <math>|\Phi(p)|^2</math> （蓝色）。在x-轴的某位置 <math>x</math> 或p<sub>x</sub>-轴的某动量 <math>p</math> 显示出的粒子颜色的不透明度，分别表示在那位置 <math>x</math> 或动量 <math>p</math> 找到粒子的机率密度（不是波函数的机率幅）。]]
位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的[[傅立叶变换]]。他们各自拥有的信息相同，任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|108}}
:<math>\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{-ipx/\hbar} \Psi(x,t) \mathrm{d}x</math> 、
:<math>\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{ipx/\hbar} \Phi(p,t) \mathrm{d}p</math> 。
==薛丁格方程式==
在一维空间里，运动于[[位势]] <math>V(x)</math> 的单独粒子，其波函数满足[[含时薛丁格方程式]]
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)</math> ；
其中，<math>m</math> 是[[质量]]，<math>\hbar</math> 是[[约化普朗克常数]]。
[[不含时薛丁格方程式]]与时间无关，可以用来计算粒子的[[本徵值|本徵能量]]与其它相关的量子性质。应用[[分离变数法]]，猜想 <math>\Psi(x,\,t)</math> 的函数形式为
:<math>\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}</math> ；
其中，<math>E</math> 是分离常数，稍加推导可以论定 <math>E</math> 就是[[能量]]，<math>\psi_E(x)</math> 是对应于 <math>E</math> 的[[本徵函数]]。
代入这猜想解，经过一番运算，可以推导出一维不含时薛丁格方程式：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) </math> 。
== 波函数的概率诠释 ==
波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是概率波。其模的平方 <math>\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,</math> 代表粒子在该处出现的[[概率密度]]，并且具有归一性，全空间的积分
:<math>\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1</math> 。
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数迭加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的[[双缝实验|杨氏双缝实验]]。
== 波函数的本征值和本征态 ==
在量子力学中，[[可观察量]] <math>A</math> 以算符 <math>\hat{A}</math> 的形式出现。<math>\hat{A}</math> 代表对于波函数的一种运算。例如，在位置空间里，动量算符 <math>\hat{\mathbf{p}}</math> 的形式为
:<math>\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla</math> 。
可观察量 <math>A</math> 的本徵方程式为
:<math>\hat{A}\psi=a\psi</math> 。
对应的 <math>a</math> 称为算符 <math>\hat{A}</math> 的[[本徵值]]，<math>\psi</math> 称为算符 <math>\hat{A}</math> 的[[本徵态]]。假设对于 <math>\hat{A}</math> 的本徵态 <math>\psi</math> 再测量可观察量 <math>A</math> ，则得到的结果是本徵值 <math>a</math> 。
== 态迭加原理 ==
假设对于某量子系统测量可观察量 <math>A</math> ，而可观察量 <math>A</math> 的本徵态 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 分别拥有本徵值 <math>a_1</math> 、<math>a_2</math> ，则根据[[薛定谔方程]]的[[线性关系]]，叠加态 <math>|\psi\rang</math> 也可以是这量子系统的量子态：
:<math>|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang</math> ；
其中， <math>c_1</math> 、<math>c_2</math> 分别为叠加态处于本徵态 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 的[[机率幅]]。
假设对这叠加态系统测量[[可观察量]] <math>A</math> ，则测量获得数值是 <math>a_{1}</math> 或 <math>a_{2}</math> 的机率分别为 <math>|c_{1}|^2</math> 、<math>|c_{2}|^2</math> ，[[期望值]]为<!--from 态叠加原理-->
:<math>\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2</math> 。
== 定态 ==
[[File:StationaryStatesAnimation.gif|250px|thumb|right|描述谐振子的含时薛丁格方程式的三个波函数解。左边：波函数[[机率幅]]的实部（蓝色）或虚部（红色）。右边：找到粒子在某位置的机率，这说明了为甚麽机率与时间无关的量子态被称为「定态」。上面两个横排是定态，最下面横排是叠加态 <math>\psi_N =(\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}</math> 。]]
在[[量子力学]]中，一类基本的问题是[[哈密顿算符]] <math>\hat{H}</math> 不含时间的情况。对于这问题，应用[[分离变数法]]，可以将波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 分离成一个只与位置有关的函数 <math>\psi (\mathbf{r})</math> 和一个只与时间有关的函数 <math>f(t)</math> ：
:<math>\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t)</math> 。
将这公式代入[[薛定谔方程]]，就会得到
: <math>f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}</math> 。
而 <math>\psi(\mathbf{r})</math> 则满足[[薛定谔方程#不含时薛定谔方程式|本徵能量薛丁格方程式]]：
:<math>\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})</math> 。
== 例子 ==
=== 自由粒子 ===
{{main|自由粒子}}
3D空间中的自由粒子，其[[波矢]] 为{{math|'''k'''}} ， [[角频率]] 为{{math|''ω''}}，其波函数为：
:<math>\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.</math>
=== 无限深方形阱 ===
{{main|无限深方形阱}}
粒子被限制在{{math|''x'' {{=}} 0}}和{{math|''x'' {{=}} ''L''}}之间的1D空间中，其波函数为:<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|30-38}}
:<math>\begin{align}
\Psi (x,t) & = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-i\omega_n t}, & \quad 0 \leq x \leq L \\
\Psi (x,t) & = 0, & x < 0, x > L \\
\end{align} </math>
其中，<math>\hbar\omega_n=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math>是能量本徵值，<math>n</math>是正整数，<math>m</math>是质量。
===有限位势垒===
{{main|有限位势垒|量子穿隧效应}}
[[Image:Finitepot.png|thumb|right|对于一个垒高为 V<sub>0</sub> 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示]]
在1D情况下，粒子处于如下势垒中：
:<math>V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|<a \\ 0 & \text{otherwise,}\end{cases}</math>
其波函数的定态解为(<math>k, \kappa</math>为常数)
:<math>\psi (x) = \begin{cases}
A_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x<-a, \\
B_{\mathrm{r}}\exp(\kappa x)+B_{\mathrm{l}}\exp(-\kappa x) & |x|\le a, \\
C_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+C_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x>a.
\end{cases}
</math>
=== 量子点 ===
[[File:Quantum dot.png|thumb|330px|right|量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像[[s轨道]]和[[p轨道]]。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。|link=File:QuantumDot_wf.gif]]
'''量子点'''是在把[[激子]]在三个空间方向上束缚住的[[半导体]][[纳米结构]]。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自组量子点中），半导体的表面（例如：半导体[[纳米晶体]]），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似[[无限深方形阱]]的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。
== 参考文献 ==
{{reflist}}
== 参阅 ==
* [[波包]]
{{量子力学}}
[[Category:函数|B]]
[[Category:量子力学|B]]
{{noteTA|G1=物理学|1=zh-hans:本征; zh-hant:本徵;|2=zh-hans:复函数; zh-hant:複函数;|3=zh-hans:轨道; zh-hant:轨域;|42=zh-hans:杂化; zh-hant:混成;|5=zh-hans:能级; zh-hant:能阶;|G2=Chemistry}}
{{向量字体}}
[[File:QuantumHarmonicOscillatorAnimation.gif|200px|thumb|right|设想经典力学里的[[谐振子 ]]系统（A-B），一条[[弹簧]]的一端固定不动，另一端有一个带质量圆球；在[[量子力学]]里， （C-H）展示出同样系统的[[薛丁格方程式]]的六个波函数解。横轴坐标表示位置，竖轴坐标表示波函数[[机率幅]]的实部（蓝色）或虚部（红色）。（C-F）是定态，（G、H）不是定态。定态的能量为[[驻波]]振动频率与约化普朗克常数的乘积。]]
在[[量子力学]]里，量子系统的[[量子态]]可以用'''波函数'''（{{lang-en|wave function}}）来描述。[[薛丁格方程式]]设定波函数如何随著时间流逝而演化。从数学角度来看，薛丁格方程式乃是一种[[波动方程式]]，因此，波函数具有类似波的性质。这说明了波函数这术语的命名原因。
波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是一种[[複值]][[函数]]，表示粒子在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、时间 <math>t</math> 的[[机率幅]]，它的绝对值平方 <math>|\Psi(\mathbf{r},t)|^2</math> 是在位置 <math>\mathbf{r}</math> 、时间 <math>t</math> 找到粒子的[[机率密度]]。以另一种角度诠释，波函数<math>\Psi (\mathbf{r},t)</math>是「在某时间、某位置发生相互作用的概率幅」。<ref>{{cite journal
| last =Hobson
| first =Art
| title =There are no particles, there are only fields
| journal =American Journal of Physics
| volume =81
| issue =211
| year =2013
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| doi =10.1119/1.4789885
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波函数的概念在量子力学里非常基础与重要，诸多关于量子力学诠释像谜一样之结果与困惑，都源自于波函数，甚至今天，这些论题仍旧尚未获得满意解答。
== 历史 ==
[[File:Broglie Big.jpg|right|thumb|150px|路易·德布罗意]]
[[File:Erwin Schrodinger2.jpg|right|thumb|150px|埃尔温·薛丁格]]
在1920年代与1930年代，理论量子物理学者大致分为两个阵营。第一个阵营的成员主要为[[路易·德布罗意]]和[[埃尔温·薛丁格]]等等，他们使用的数学工具是[[微积分]]，他们共同创建了[[波动力学]]。第二个阵营的成员主要为[[维尔纳·海森堡]]和[[马克斯·玻恩]]等等，使用[[线性代数]]，他们建立了[[矩阵力学]]。后来，薛丁格证明这两种方法完全等价。<ref>
{{Citation
| last = Hanle
| first = P.A.
| title = Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory.
| journal = Isis
| volume = 68
| issue = 4
| pages =
| date = December 1977
| doi = 10.1086/351880
}}</ref>{{rp|606–609}}
德布罗意于1924年提出的[[德布罗意假说]]表明，每一种微观粒子都具有[[波粒二象性]]。[[电子]]也不例外，具有这种性质。电子是一种波动，是电子波。电子的能量与动量分别决定了它的[[物质波]]频率与波数。既然粒子具有波粒二象性，应该会有一种能够正确描述这种量子特性的[[波动方程式]]，这点子给予[[埃尔温·薛定谔]]极大的启示，他因此开始寻找这波动方程式。薛定谔参考[[威廉·哈密顿]]先前关于[[牛顿力学]]与[[光学]]之间的类比这方面的研究，在其中隐藏了一个奥妙的发现，即在零[[波长]]极限，[[物理光学]]趋向于[[几何光学]]；也就是说，光波的轨道趋向于明确的路径，而这路径遵守[[最小作用量原理]]。哈密顿认为，在零波长极限，[[波传播]]趋向于明确的运动，但他并没有给出一个具体方程式来描述这波动行为，而薛定谔给出了这方程式。他从[[哈密顿-雅可比方程]]成功地推导出薛定谔方程式。<ref name="Moore1992"/>{{rp|207}}他又用自己设计的方程式来计算[[氢原子]]的[[谱线]]，得到的答案与用[[波耳模型]]计算出的答案相同。他将这波动方程式与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文，1926年，正式发表于物理学界<ref>{{Citation|last = 薛定谔|first = 埃尔温|author-link = 薛定谔|title = Über das Verhältnis der Heisenberg-Born-Jordanschen Quantenmechanik zu der meinen|publisher = Annalen der Physik, (Leipzig)|year = 1926|volume = 79|url = http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schrodinger1926c.pdf}}
[德文原稿]</ref><ref name=Helge>{{cite book
| last =Kragh
| first =Helge
| title =Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century
| publisher =Princeton University Press
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| date =2002
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}}</ref>{{rp|163-167}}。从此，量子力学有了一个崭新的理论平台。
薛丁格给出的薛定谔方程式能够正确地描述波函数的量子行为。那时，物理学者尚未能解释波函数的涵义，薛定谔尝试用波函数来代表电荷的密度，但遭到失败。1926年，玻恩提出[[机率幅]]的概念，成功地解释了波函数的物理意义<ref name="Moore1992">{{Citation|last=Moore|first=Walter John|title=Schrödinger: Life and Thought|year=1992| location=England | publisher=Cambridge University Press| isbn=0-521-43767-9 | language=en}}</ref>{{rp|219-220}}。可是，薛定谔本人不赞同这种[[统计]]或[[机率]]方法，和它所伴随的非连续性[[波函数塌缩]]，如同爱因斯坦认为量子力学只是个[[决定论|决定性理论]]的统计近似，薛定谔永远无法接受[[哥本哈根诠释]]。在他有生最后一年，他写给玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这意见。<ref name="Moore1992"/>{{rp|479}}
1927年，[[道格拉斯·哈特里]]（Douglas Hartree）与[[弗拉基米尔·福克]]（Vladimir Fock）在对于[[多体问题|多体]]波函数的研究踏出了第一步，他们发展出[[哈特里－福克方程]]来近似方程的解。这计算方法最先由哈特里提出，后来福克将之加以改善，能够符合包立不相容原理的要求。<ref>{{cite book
| last1 =Atkins
| first1 =Peter
| last2 =de Paula
| first2 =Julio
| title =Physical Chemistry
| publisher =W. H. Freeman
| edition =8th
| date =2006
| isbn =978-0716787594 }}</ref>{{rp|344-345}}
薛定谔方程式不具有[[劳仑兹不变性]] ，无法淮确给出符合相对论的结果。薛定谔试著用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程式，并且描述电子的相对论性量子行为。但是这方程式给出的精细结构不符合[[阿诺·索末菲]]的结果，又会给出违背量子力学的负机率和怪异的负能量现象，他只好将这相对论性部分暂时搁置一旁，先行发表前面提到的非相对论性部分。<ref name="Moore1992"/>{{rp|196-197}}<ref name=McMahon>{{cite book
| last =McMahon
| first =David
| title =Quantum Field Theory Demystified
| publisher =McGraw Hill Professional
| date =2008
| isbn =9780071643528
}}</ref>{{rp|3}}
1926年，[[奥斯卡·克莱因]]（Oskar Klein）和[[沃尔特·戈尔登]]（Walter Gordon）将[[电磁相对作用]]纳入考量，独立地给出薛定谔先前推导出的相对论性部分，并且证明其具有劳仑兹不变性。这方程式后来称为[[克莱因-戈尔登方程式]]。<ref name=McMahon/>{{rp|3}}
1928年，[[保罗·狄拉克]]最先成功地统一了[[狭义相对论]]与量子力学，他推导出[[狄拉克方程式]]，适用于电子等等[[自旋]]为1/2的粒子。这方程式的波函数是一个[[旋量]]，拥有自旋性质。<ref name=Helge/>{{rp|167}}
==概述==
[[File:1D Wavefunctions with Energies.svg|right|200px|thumb|在一维[[无限深方形阱]]内，粒子的能级与对应的波函数。]]
[[File:1D Probability Density with Energies.svg|right|200px|thumb|在一维无限深方形阱内，找到能级为 <math>n</math> 的粒子的机率。]]
===位置空间波函数===
假设一个自旋为零的粒子移动于一维空间。这粒子的量子态以波函数表示为 <math>\Psi(x,t)</math> ；其中，<math>x</math> 是位置，<math>t</math> 是时间。波函数是[[复数|複值]]函数。测量粒子位置所得到的结果不是决定性的，而是机率性的。粒子的位置 <math>x</math> 在区间 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le x\le b</math> ）的[[机率]]<math>P_{a\le x\le b}</math>为
:<math>P_{a\le x\le b} = \int\limits_a^b \,|\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d} x</math> ；
其中，<math>t</math> 是对于粒子位置做测量的时间。
换句话说，<math>|\Psi(x,t)|^2</math> 是粒子在位置 <math>x</math> 、时间 <math>t</math> 的机率密度。
这导致归一化条件：在位置空间的任意位置找到粒子的机率为100%：
:<math>\int\limits_{-\infty}^\infty \, |\Psi(x,t)|^2 \mathrm{d}x = 1</math> 。
===动量空间波函数===
在动量空间，粒子的波函数表示为 <math>\Phi(p,t)</math> ；其中，<math>p</math> 是一维动量，值域从 <math>-\infty</math> 至 <math>+\infty</math> 。测量粒子动量所得到的结果不是决定性的，而是机率性的。粒子的动量 <math>p</math> 在区间 <math>[a,b]</math> （即 <math>a\le p\le b</math> ）的机率为
:<math>P_{a\le p\le b} = \int\limits_a^b \,|\Phi(p,t)|^2 \mathrm{d}p</math> 。
动量空间波函数的归一化条件也类似：
:<math> \int\limits_{-\infty}^{\infty} \, \left | \Phi ( p, t ) \right |^2 \mathrm{d}p = 1</math> 。
===两种波函数之间的关系===
[[File:Quantum mechanics travelling wavefunctions.svg|right|250px|thumb|本图展示一维零自旋[[自由粒子]]的波函数范例，左边是位置空间波函数 <math>\Psi(x)</math> 的实部（紫色）和机率密度 <math>|\Psi(x)|^2</math> （红色），右边是动量空间波函数 <math>\Phi(p)</math> 的实部（金色）和机率密度 <math>|\Phi(p)|^2</math> （蓝色）。在x-轴的某位置 <math>x</math> 或p<sub>x</sub>-轴的某动量 <math>p</math> 显示出的粒子颜色的不透明度，分别表示在那位置 <math>x</math> 或动量 <math>p</math> 找到粒子的机率密度（不是波函数的机率幅）。]]
位置空间波函数与动量空间波函数彼此是对方的[[傅立叶变换]]。他们各自拥有的信息相同，任何一种波函数都可以用来计算粒子的相关性质。两种波函数之间的关系为<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|108}}
:<math>\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{-ipx/\hbar} \Psi(x,t) \mathrm{d}x</math> 、
:<math>\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int\limits_{-\infty}^\infty \, e^{ipx/\hbar} \Phi(p,t) \mathrm{d}p</math> 。
==薛丁格方程式==
在一维空间里，运动于[[位势]] <math>V(x)</math> 的单独粒子，其波函数满足[[含时薛丁格方程式]]
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t)+V(x)\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)</math> ；
其中，<math>m</math> 是[[质量]]，<math>\hbar</math> 是[[约化普朗克常数]]。
[[不含时薛丁格方程式]]与时间无关，可以用来计算粒子的[[本徵值|本徵能量]]与其它相关的量子性质。应用[[分离变数法]]，猜想 <math>\Psi(x,\,t)</math> 的函数形式为
:<math>\Psi(x,\,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}</math> ；
其中，<math>E</math> 是分离常数，稍加推导可以论定 <math>E</math> 就是[[能量]]，<math>\psi_E(x)</math> 是对应于 <math>E</math> 的[[本徵函数]]。
代入这猜想解，经过一番运算，可以推导出一维不含时薛丁格方程式：
:<math> - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x) </math> 。
== 波函数的概率诠释 ==
波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 是概率波。其模的平方 <math>\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,</math> 代表粒子在该处出现的[[概率密度]]，并且具有归一性，全空间的积分
:<math>\int\vert\Psi (\mathbf{r},t)\vert^2\,d^3\,x=1</math> 。
波函数的另一个重要特性是相干性。两个波函数迭加，概率的大小取决于两个波函数的相位差，类似光学中的[[双缝实验|杨氏双缝实验]]。
== 波函数的本征值和本征态 ==
在量子力学中，[[可观察量]] <math>A</math> 以算符 <math>\hat{A}</math> 的形式出现。<math>\hat{A}</math> 代表对于波函数的一种运算。例如，在位置空间里，动量算符 <math>\hat{\mathbf{p}}</math> 的形式为
:<math>\hat{\mathbf{p}}=-i\hbar\nabla</math> 。
可观察量 <math>A</math> 的本徵方程式为
:<math>\hat{A}\psi=a\psi</math> 。
对应的 <math>a</math> 称为算符 <math>\hat{A}</math> 的[[本徵值]]，<math>\psi</math> 称为算符 <math>\hat{A}</math> 的[[本徵态]]。假设对于 <math>\hat{A}</math> 的本徵态 <math>\psi</math> 再测量可观察量 <math>A</math> ，则得到的结果是本徵值 <math>a</math> 。
== 态迭加原理 ==
假设对于某量子系统测量可观察量 <math>A</math> ，而可观察量 <math>A</math> 的本徵态 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 分别拥有本徵值 <math>a_1</math> 、<math>a_2</math> ，则根据[[薛定谔方程]]的[[线性关系]]，叠加态 <math>|\psi\rang</math> 也可以是这量子系统的量子态：
:<math>|\psi\rang=c_{1}|a_1\rang+c_{2}|a_2\rang</math> ；
其中， <math>c_1</math> 、<math>c_2</math> 分别为叠加态处于本徵态 <math>|a_1\rang</math> 、<math>|a_2\rang</math> 的[[机率幅]]。
假设对这叠加态系统测量[[可观察量]] <math>A</math> ，则测量获得数值是 <math>a_{1}</math> 或 <math>a_{2}</math> 的机率分别为 <math>|c_{1}|^2</math> 、<math>|c_{2}|^2</math> ，[[期望值]]为<!--from 态叠加原理-->
:<math>\langle\psi |A|\psi\rang=|c_{1}|^2 a_1 +|c_{2}|^2 a_2</math> 。
== 定态 ==
[[File:StationaryStatesAnimation.gif|250px|thumb|right|描述谐振子的含时薛丁格方程式的三个波函数解。左边：波函数[[机率幅]]的实部（蓝色）或虚部（红色）。右边：找到粒子在某位置的机率，这说明了为甚麽机率与时间无关的量子态被称为「定态」。上面两个横排是定态，最下面横排是叠加态 <math>\psi_N =(\psi_0+\psi_1)/\sqrt{2}</math> 。]]
在[[量子力学]]中，一类基本的问题是[[哈密顿算符]] <math>\hat{H}</math> 不含时间的情况。对于这问题，应用[[分离变数法]]，可以将波函数 <math>\Psi (\mathbf{r},t)</math> 分离成一个只与位置有关的函数 <math>\psi (\mathbf{r})</math> 和一个只与时间有关的函数 <math>f(t)</math> ：
:<math>\Psi (\mathbf{r},t)=\psi (\mathbf{r})f(t)</math> 。
将这公式代入[[薛定谔方程]]，就会得到
: <math>f(t)=\exp{(-iEt/\hbar )}</math> 。
而 <math>\psi(\mathbf{r})</math> 则满足[[薛定谔方程#不含时薛定谔方程式|本徵能量薛丁格方程式]]：
:<math>\hat{H}\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})</math> 。
== 例子 ==
=== 自由粒子 ===
{{main|自由粒子}}
3D空间中的自由粒子，其[[波矢]] 为{{math|'''k'''}} ， [[角频率]] 为{{math|''ω''}}，其波函数为：
:<math>\Psi (\mathbf{r},t) = A e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}\,.</math>
=== 无限深方形阱 ===
{{main|无限深方形阱}}
粒子被限制在{{math|''x'' {{=}} 0}}和{{math|''x'' {{=}} ''L''}}之间的1D空间中，其波函数为:<ref name=Griffiths2004>{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) | publisher=Prentice Hall |year=2004 |isbn= 0-13-111892-7}}</ref>{{rp|30-38}}
:<math>\begin{align}
\Psi (x,t) & = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-i\omega_n t}, & \quad 0 \leq x \leq L \\
\Psi (x,t) & = 0, & x < 0, x > L \\
\end{align} </math>
其中，<math>\hbar\omega_n=\frac{n^2 h^2}{8mL^2}</math>是能量本徵值，<math>n</math>是正整数，<math>m</math>是质量。
===有限位势垒===
{{main|有限位势垒|量子穿隧效应}}
[[Image:Finitepot.png|thumb|right|对于一个垒高为 V<sub>0</sub> 的位势垒的散射。往左与往右的量子波的波幅与方向都分别表示于图内。用来计算透射系数与反射系数的量子波都以红色表示]]
在1D情况下，粒子处于如下势垒中：
:<math>V(x)=\begin{cases}V_0 & |x|<a \\ 0 & \text{otherwise,}\end{cases}</math>
其波函数的定态解为(<math>k, \kappa</math>为常数)
:<math>\psi (x) = \begin{cases}
A_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+A_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x<-a, \\
B_{\mathrm{r}}\exp(\kappa x)+B_{\mathrm{l}}\exp(-\kappa x) & |x|\le a, \\
C_{\mathrm{r}}\exp(ikx)+C_{\mathrm{l}}\exp(-ikx) & x>a.
\end{cases}
</math>
=== 量子点 ===
[[File:Quantum dot.png|thumb|330px|right|量子点中3D受束缚的电子波函数。如图所示为方形和三角形量子点。方形量子点中的电子态更像[[s轨道]]和[[p轨道]]。然而，由于不同的几何形态导致不同的束缚，三角形量子点中的波函数则是多种轨道混合的结果。|link=File:QuantumDot_wf.gif]]
'''量子点'''是在把[[激子]]在三个空间方向上束缚住的[[半导体]][[纳米结构]]。粒子在三个方向上都处在势阱中。势阱可以由于静电势（由外部的电极，掺杂，应变，杂质产生），两种不同半导体材料的界面（例如：在自组量子点中），半导体的表面（例如：半导体[[纳米晶体]]），或者以上三者的结合。量子点具有分离的量子化的能谱。所对应的波函数在空间上位于量子点中，但延伸于数个晶格周期中。其中的能级可以用类似[[无限深方形阱]]的模型来描述，能级位置取决于势阱宽度。
== 参考文献 ==
{{reflist}}
== 参阅 ==
* [[波包]]
{{量子力学}}
[[Category:函数|B]]
[[Category:量子力学|B]]