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导数
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名称 ：导数
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'''导数'''（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与 [[ 自变量 ]] 增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'（x0）或df（x0）/dx。
导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的 [[ 变化 ]] 率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导 [[ 函数 ]] （简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的 [[ 操作 ]] ，它们都是微积分学中最为基础的概念。<ref>[ https://www.360kuai.com/pc/9d8941e2c4dfff27d?cota=3&kuai_so=1&sign=360_7bc3b157&refer_scene=so_55 考研数学-浅析高阶导数的计算 ], 快资讯 , 2022-03-29</ref>
==历史沿革==
就数学历史来看，两种理论都有一定的道理，实无限就使用了150年。
光是 [[ 电磁波 ]] 还是粒子？作为一个物理学长期争论的问题，后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论，都不是最好的方法。
==定义==
设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的 [[ 导数 ]] ，记作① ， 即
需要指出的是：
导函数
如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的 [[ 函数 ]] ，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y'、f'（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。
导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。
………………③
2、原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反 [[ 三角函数 ]] 的）：
y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y'=1/x'。
导数的计算
计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际 [[ 计算 ]] 中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。
导数的求导法则
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母 [[ 平方 ]] （即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
1、直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数。
一般用来寻找解题 [[ 方法 ]] 。
2、高阶导数的运算法则：
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）
指不变（特别的， [[ 自然 ]] 对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）
正变余，余变正
（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
（2）若已知函数为递增 [[ 函数 ]] ，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。
x变化时函数（蓝色曲线）的 [[ 切线 ]] 变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。
凹凸性
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为 [[ 曲线 ]] 的拐点。
==导数种别==
双曲函数
另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的 [[ 公式 ]] 与
均能较快捷地求得结果。
对于
有更直接的求导 [[ 方法 ]] 。
下面对
导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率。
上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了 [[ 分子 ]] 也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大，也就是我们所说的导数不存在。
设y=x/x，若这里让x趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1，所以极限为1。
连续不可导的曲线
例如，魏尔斯特拉斯函数（Weierstrass function）就是一类处处连续而处处不可导的实值函数。魏尔斯特拉斯函数是一种无法用笔画出任何一部分的 [[ 函数 ]] ，因为每一点的导数都不存在，画的人无法知道每一点该朝哪个方向画。魏尔斯特拉斯函数的每一点的斜率也是不存在的。魏尔斯特拉斯函数得名于十九世纪的 [[ 德国 ]] 数学家卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815–1897）。历史上，魏尔斯特拉斯函数是一个著名的数学反例。魏尔斯特拉斯之前，数学家们对函数的连续性认识并不深刻。许多数学家认为除了少数一些特殊的点以外，连续的函数曲线在每一点上总会有斜率。魏尔斯特拉斯函数的出现说明了所谓的“病态”函数的存在性，改变了当时 [[ 数学 ]] 家对连续函数的看法。
== 参考来源 ==
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<center>16.导数的定义</center>
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== 参考资料 ==