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| style="background: #66CCFF" align= centerlight| '''<big>一元二次方程</big> '''

|[[File:|缩略图|居中|[ 原图链接]]]外文名；quadratic equation of one unknown

| style标准形式；ax²+bx+c="background: #66CCFF" align= center|0（a≠0）

|求根公式；x=(- | align= light|b±√(b^2-4ac))/2a

 通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且 [[ 未知数 ]] 的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做'''一元二次方程'''（quadratic equation with one unknown）。<ref>[ https://wenda.so.com/q/1361437345067029?src=140&q=%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B 一元二次方程的解法], 360问答 , --2013年02月21日</ref>

通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式 [[ 方程 ]] ，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。一元二次方程的一般形式是是常数项。

通过分析古巴比伦泥板上的代数问题，我们可以发现在公元前2250年古巴比伦人就已经掌握了与求解一元二次方程相关的代数学 [[ 知识 ]] ，并将之应用于解决有关矩形面积和边的问题。

在发现于卡呼恩（Kahun）的两份古埃及纸草书上也出现了用试位法求解二次方程的 [[ 问题 ]] 。

公元5-11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期。天主教会成为 [[ 欧洲 ]] 社会的绝对势力。封建宗教统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，终使黑暗时代的欧洲在数学领域毫无成就。

在推翻倭马亚王朝之后，阿拔斯王朝将首都迁往 [[ 巴格达 ]] ，其第二任哈里发曼苏尔（al-Mansur，公元754-775年在位）仿效波斯旧制，建立起了完整的行政体制。在最初的100年时间里，特别是第五任哈里发哈伦·拉希德（Harunal-Rashid，公元786-809年在位）和第七任哈里发马蒙（al-Ma'mūn，公元813-833年在位）执政时期，是阿拉伯帝国极盛时期，同时阿拉伯帝国的科学文化事业在广泛吸收古希腊、印度等文明成果的基础上进入了繁荣昌盛阶段。 阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。中世纪阿拉伯数学家对世界影响最大的可说是花拉子密（al-Khwārizmī，约公元783-850年）。约公元820年，花拉子密的著作《[[还原与对消之书]]》（al-Kitāb al-jabr wal-muqābala，简称《[[代数学]]》）问世。在该书中，他将“还原（al-jabr）”定义为这样一种运算，即将方程一侧的一个减去的量移到方程的另一侧变为加上的量；单词“wa”是“和”的意思；“al-muqābala”的意思是将方程两侧相等的同类正项消去，此处译为“对消”。后来的阿拉伯数学家通常用“还原（al-jabr）”一词来代替整个还原与对消算法，并逐渐用来表示一个数学分支，最终其演变为今天的“代数（algebra）”一词。 由于花拉子密只承认方程的正根，所以在《[[代数学]]》中他将一元二次方程分为六种类型： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 其中 ，这样便穷尽了有正根的一元二次方程的所有可能，同时花拉子密给出了与今天相同的公式解。《[[代数学]]》全书没有符号，但有明确的方程思想，其中“还原与对消”方法作为代数学的基本特征被长期保留下来，并基本确立了后世阿拉伯代数学中方程化简（多项式理论）和方程求解这两条主要发展脉络。 正因如此，著名数学史家鲍耶（C.B.Boyer，1906-1976年）将花拉子密称为“代数学之父”。 花拉子密的工作很快被阿布·卡米尔（Abū Kāmil，约公元850-930年）等阿拉伯数学家继承并发展。虽然花拉子密的《[[代数学]]》在12世纪初已被译成拉丁文并开始在伊比利亚半岛传播，但对花拉子密代数思想在欧洲传播起到关键作用的是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，约1170-1250）。斐波那契在其著作《[[计算之书]]》（Liber Abaci，1202）中系统介绍了印度－阿拉伯数码，二次和三次方程以及不定方程理论。斐波那契参阅了卡米尔的代数学著作，并指出与一元二次方程有关的理论源自花拉子密。《[[计算之书]]》对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响，并最终引导了16世意大利代数方程求解方向的突破。 随着欧洲人在代数学领域的深入研究，包括一元二次方程在内的数学知识进一步向前发展。法国数学家韦达（F.Vieta，1540-1603）给出了代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法，并将数学符号系统化。1637年，笛卡儿（René Descartes，1596-1650）完成了对韦达代数符号的改进并首次应用待定系数法将四次方程分解成两个二次方程求解。 一般地，对于方程（I） （I） ⑴当 ⑵当； ⑶当，所以方程（I）无实数根。 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 （II）的形式，那么就有： ⑴当 ⑵当； ⑶当，所以方程（II）无实数根。 ==公式法== 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 （III）

根据用配 阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。中世纪阿拉伯数学家对世界影响最大的可说是花拉子密（al-Khwārizmī，约公元783-850年）。约公元820年，花拉子密的著作《[[还原与对消之书]]》（al-Kitāb al-jabr wal-muqābala，简称《[[代数学]]》）问世。在该书中，他将“还原（al-jabr）”定义为这样一种运算，即将方程一侧的一个减去的量移到 方 法解 程的另 一 元二次 侧变为加上的量；单词“wa”是“和”的意思；“al-muqābala”的意思是将 方程 两侧相等 的 经验 同类正项消去，此处译为“对消”。后 来 解决这 的阿拉伯数学家通常用“还原（al-jabr）”一词来代替整个还原与对消算法，并逐渐用来表示一 个 问题：[[数学]]分支，最终其演变为今天的“代数（algebra）”一词。

移项 花拉子密的工作很快被阿布·卡米尔（Abū Kāmil ， 得约公元850-930年）等阿拉伯数学家继承并[[发展]]。虽然花拉子密的《[[代数学]]》在12世纪初已被译成拉丁文并开始在伊比利亚半岛传播，但对花拉子密代数思想在欧洲传播起到关键作用的是意大利数学家斐波那契（Fibonacci，约1170-1250）。斐波那契在其著作《[[计算之书]]》（Liber Abaci，1202）中系统介绍了印度－阿拉伯数码，二次和三次方程以及不定方程理论。斐波那契参阅了卡米尔的代数学著作，并指出与一元二次方程有关的理论源自花拉子密。《[[计算之书]]》对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响，并最终引导了16世意大利代数方程求解方向的突破。

随着欧洲人在代数学领域的深入研究，包括[[一元 二次 项系数化为1，得 配 方 ，得 即 ① 因为 程]]在内 的 值有以下三种情况： ⑴ 这时  数学知识进一步向前发展。法国数学家韦达（F.Vieta，1540-1603）给出了代数 方程 有两个不等 的 实 近似解法与代 数 根 ⑵ 这时 ⑶ 这时，因此 方程 无实数根。 一般地， 的多项式分解因 式 子. 由上可知 解法 ， 当有两个不等的实 并将 数 根； 当有两个相等的实 学符号系统化。1637年，笛卡儿（René Descartes，1596-1650）完成了对韦达[[代 数 根； 当无实数根。 当 ]]符号 的 求根公式。求根公式表达了 改进并首次应 用 配方 待定系数 法 解一般的一元二 将四 次方程 的结果。 分 解 一 成两 个 具体的一元 二次方程 时，把各系数直接代入 求 根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种 解 一元二次方程的方法叫做公式法 。

后，如果能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次 [[ 方程 ]] 。

如上所述，不是用开平方降次，而是先因式 [[ 分解 ]] ，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

方程决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系。一元二次方程根与系数之间的 [[ 关系 ]] 表现在以下方面。

这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项 [[ 系数 ]] 的比的相反数，这两个根的积等于 [[ 常数 ]] 项与二次项系数的比 。 ==二次函数的图像和性质== 一般地，二次函数的形式，即 因此，抛物线的图像可以看出： 如果增大而增大； 如果的增大而减小 。

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