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正三棱锥

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| style="background: #~~66CCFF~~FF2400" align= center| '''<big>正三棱锥</big>'''|-|<center><img src=https://img1.baidu.com/it/u=145284357,1655551649&fm=253&fmt=auto&app=138&f=JPEG?w=315&h=284 width="300"></center><small>[https://image.baidu.com/search/detail?ct=503316480&z=0&ipn=d&word=%E6%AD%A3%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5&step_word=&hs=0&pn=5&spn=0&di=7108135681917976577&pi=0&rn=1&tn=baiduimagedetail&is=0%2C0&istype=0&ie=utf-8&oe=utf-8&in=&cl=2&lm=-1&st=undefined&cs=3089604566%2C191601529&os=2085063072%2C128359645&simid=2964097956%2C3341006331&adpicid=0&lpn=0&ln=1512&fr=&fmq=1656485074674_R&fm=&ic=undefined&s=undefined&hd=undefined&latest=undefined&copyright=undefined&se=&sme=&tab=0&width=undefined&height=undefined&face=undefined&ist=&jit=&cg=&bdtype=0&oriquery=&objurl=https%3A%2F%2Fss3.baidu.com%2F9fo3dSag_xI4khGko9WTAnF6hhy%2Fzhidao%2Fpic%2Fitem%2Fa5c27d1ed21b0ef4c949af82ddc451da80cb3e4c.jpg&fromurl=ippr_z2C%24qAzdH3FAzdH3Fzit1w5_z%26e3Bkwt17_z%26e3Bv54AzdH3Fq7jfpt5gAzdH3Fc88bdn88n_z%26e3Bip4s&gsm=6&rpstart=0&rpnum=0&islist=&querylist=&nojc=undefined&dyTabStr=MCw2LDMsMSw0LDIsNSw4LDcsOQ%3D%3D 来自呢图网的图片]</small>|-| style="background: #FF2400" align= center| '''<big></big> '''

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|~~[[File:~~align= light| ~~缩略图|居中|[ 原图链接]]]~~

|-中文名称；正三棱锥

~~| style="background: #66CCFF" align= center|~~外文名称；regular triangular pyramid

|-特点；锥体中底面是等边三角形

~~| align= light|~~定义；正三棱锥不等同于正四面体

性质；底面是等边三角形

|}

'''正三棱锥'''是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰 [[ 三角形 ]] 的三棱锥。正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是全等的 [[ 等边三角形 ]] 。<ref>[ https://qb.zuoyebang.com/xfe-question/question/8fdc3a566eb2086e6bab7cabade4be10.html 正三棱锥定义], 作业帮 , --2017年10月15日</ref>

==性质==

1．底面是等边三角形。

2．侧面是三个全等的 [[ 等腰三角形 ]] 。

3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。

4. 常构造以下四个直角三角形（见图1）：

（1）斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）

（2）高、 [[ 斜高 ]] 、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）（3）高、 [[ 侧棱 ]] 、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）

（4）斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。

说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有 [[ 元素 ]] 。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。

==相关计算==

基本公式

h为底高（法线长度），A为底面面积，V为体积，L为斜高，C为棱锥底面周长有：三棱锥棱锥的侧面展开图是由4个三角形组成的，展开图的面积，就是棱锥的 [[ 侧面积 ]] ，则：(其中Si,i= 1,2为第i个侧面的面积）S全=S棱锥侧+S底S正三棱锥=1/2CL+S底V=1/3A(底面积)*h

三棱锥体积公式证明

如图2，这是一个一般的三棱柱ABC-A'B'C'，它的体积可以分为三个等体积的三棱锥，即三棱锥C-A'AB，三棱锥C-A'B'B，三棱锥A'-CB'C'.因为三棱柱的侧面A'ABB'是平行四边形，所以△A'AB的面积=△A'BB'的面积，即其中三棱锥C-A'AB与三棱锥C-A'B'B的底面积相等，它们两个的顶点都是C，即C到它们底面的距离都相等，所以三棱锥C-A'AB与三棱锥C-A'B'B的 [[ 体积 ]] 相等。而三棱锥C-A'B'B也可以看作是三棱锥A'-BCB'，且三棱锥A'-CB'C'与三棱锥A'-BCB'的底面积相等（即△BCB'与△B'C'C的面积相等），且它们两个的顶点都是A'，即A'到它们底面的距离都相等，所以三棱锥A'-CB'C'与三棱锥A'-BCB'的体积也相等，故三棱锥C-A'AB，三棱锥C-A'B'B， [[ 三棱锥A锥]]A'-CB'C'的体积都相等，由此可见，一个三棱柱的体积等于三个等体积的三棱锥体积之和，即V三棱锥=1/3S·h.2三棱锥公式

海伦秦九韶体积公式

已知三棱锥棱长求其体积的体积公式。

内切球心在顶点与底面重心的连线的距底面1/4处