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六素数
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(1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）个解.
两式的本质是从<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 中剔除掉<math>p_{i}m_{i}</math>（m>1)的合数和<math>p_{1}-6</math>，<math>p_{2}-6</math>，...，<math>p_{k}-6</math>.
切比雪夫证明了“<math>p^{2}_{k+1}</math><<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>由k>3都是
==六素数四元组和五元组==
我们可以依照上面的方法照此类推：
“若自然数R-9,R-3,R,R+3,R+9不能被不大于<math>\sqrt{R+9}</math>任何素数整除，则R-9,R-3,R,R+3,R+9都是素数，我们称为相差6的素数四元组”。
<math>R=p_{1}m_{1}+c_{1}=p_{2}m_{2}+c_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+c_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (7)</math>
中<math>c_{i} \neq 3</math>，<math>c_{i} \neq 9</math>，<math>c_{i} \neq p_{i}-3</math>，<math>c_{i} \neq p_{i}-9</math>
（保证<math>R-9,
R-3, ,R+3,R+9</math>都不能被任一个素数整除），<math>0 \le c_{i} \le p_{i} - 1</math>。 这个素数都满足<math>R<p^{2}_{k+1}-9</math>
则R-9,R-3,R,R+3,R+9都是素数。
同余式组：
<math>R \equiv c_1 \pmod{p_1}, \ R \equiv c_2 \pmod{p_2}, \ \cdots,\ R \equiv c_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (8)</math>
例如，k=2时，<math>R=2m_{1}+0=3m_{2}+2</math>，解得<math>R=14 </math>。
得知，14-9,14-3,14+3,14+9是一组六素数四元组。
“若自然数R-12,R-6,R,R,R+6,R+12不能被不大于<math>\sqrt{R+12}</math>任何素数整除，则R-12,R-6,R,R+6,R+12都是素数，我们称为相差6的素数五元组”。
<math>R=p_{1}m_{1}+f_{1}=p_{2}m_{2}+f_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+f_{k} \qquad \qquad \cdots \quad (9)</math>
<math>R \equiv f_1 \pmod{p_1}, \ R \equiv f_2 \pmod{p_2}, \ \cdots,\ R \equiv f_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \cdots \quad (10)</math>
例子