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| 複流形 |
在數學中，特別是在微分幾何和代數幾何中，複流形是具有復結構的微分流形，即它能被一族坐標鄰域所覆蓋，其中每個坐標鄰域能與n維複線性空間中的一個開集同胚，從而使坐標區域中的點具有復坐標 (z1,…,zn)，而對兩個坐標鄰域的重疊部分中的點，其對應的兩套復坐標之間的坐標變換是全純的。稱n為此複流形的復維數。一個n維複流形也是2n維的（實）微分流形。
簡介
單複變函數論中的全純函數的反函數經常出現多值情形，因此定義域便從複平面擴產到黎曼曲面，使得在黎曼曲面上這個全純函數的反函數單值化。無支點的黎曼曲面的推廣，就是複流形。注意，n 維複流形是一類特殊的 2n 維實流形，即具有復結構 J 的 2n 維實流形。上面提到黎曼曲面是由全純函數的反函數單值化產生的。而在多復變情形，從解析開拓的角度，可以看出復歐幾里得空間中的域上的全純函數，在作解析開拓後，會產生複流形。所以有些函數論問題，僅局限在 n 維復歐幾里得空間 上考慮是不夠的，必須擴產到複流形上討論。這就是為什麼在多複變函數論中，複流形的概念是不可缺少的。關於複流形的研究，緊複流形比一般情形要成熟些。
評價
對復射影空間CPn描述如下：設Cn+1是復n+1維的複線性空間，Cn+1\{0}是從Cn+1中去掉原點後所得到的空間。對於其中任意兩個點z=(z0,...,zn)和w=(w0,...,wn),如果存在非零複數λ∈C\{0} 使z=λw，則稱z和w等價，按照這個等價關系所得到的商空間記做CPn，它是一個n維的複流形。Cn+1中的點(z0,...,zn)所在的等價類，被看成是CPn中的點，記做(z0:...:zn)，稱為齊次坐標。直觀地說，CPn就是Cn+1中所有過原點的復直線（即二維實平面）的集合對CPn中的任一點p，設(z0(p):...:zn(p))是它的齊次坐標，那麼{(z0,...,zn);|z0|2+...+|zn|2=1}是Cn+1中以原點為中心的單位球面S2n+1上的一點。我們知道，S2n+1的子集{(λz0,...,λzn);|z0|2+...+|zn|2=1,|λ|=1,λ∈C}是S2n+1上的一個大圓。給定p點，即點(z0(p):...:zn(p))，它所確定的S2n+1上點的全體恰好組成了一個大圓，因此CPn也可看成S2n+1中的大圓的全體。[1]