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| 希爾伯特空間 |
在數學中，希爾伯特空間是歐幾里德空間的一個推廣，其不再局限於有限維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是一個內積空間，其上有距離和角的概念（及由此引申而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個完備的空間，其上所有的柯西序列等價於收斂序列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基於任意正交系上的多項式表示的傅立葉級數和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數學和量子力學的關鍵性概念之一。
簡介
大衛·希爾伯特(David Hilbert，1862年～1943年）德國數學家,生於東普魯士哥尼斯堡(前蘇聯加里寧格勒）附近的韋勞。中學時代，希爾伯特就是一名勤奮好學的學生，對於科學特別是數學表現出濃厚的興趣，善於靈活和深刻地掌握以至應用老師講課的內容。1880年，他不顧父親讓他學法律的意願，進入哥尼斯堡大學攻讀數學。1884年獲得博士學位，後來又在這所大學裡取得講師資格和升任副教授。1893年被任命為正教授，1895年，轉入哥廷根大學任教授，此後一直在哥廷根生活和工作，於1930年退休。在此期間，他成為柏林科學院通訊院士，並曾獲得施泰訥獎、羅巴切夫斯基獎和波約伊獎。1930年獲得瑞典科學院的米塔格-萊福勒獎，1942年成為柏林科學院榮譽院士。希爾伯特是一位正直的科學家，第一次世界大戰前夕，他拒絕在德國政府為進行欺騙宣傳而發表的《告文明世界書》上簽字。戰爭期間，他敢於公開發表文章悼念"敵人的數學家"達布。希特勒上台後，他抵制並上書反對納粹政府排斥和迫害猶太科學家的政策。由於納粹政府的反動政策日益加劇，許多科學家被迫移居外國，曾經盛極一時的哥廷根學派衰落了，希爾伯特也於1943年在孤獨中逝世。希爾伯特空間以大衛·希爾伯特的名字命名，他在對積分方程的研究中研究了希爾伯特空間。馮·諾伊曼在其1929年出版的關於無界厄米算子的著作中，最早使用了「希爾伯特空間」這個名詞。馮·諾伊曼可能是最早清楚地認識到希爾伯特空間的重要性的數學家之一，他在進行對量子力學的基礎性和創造性地研究的時候認識到了這一點。此項研究由馮·諾伊曼與希爾伯特和朗道展開，隨後由尤金·維格納（Template:Lang）繼續深入。「希爾伯特空間」這個名字迅速被其他科學家所接受，例如在外爾1931年出版的著作《群與量子力學的理論》（Template:Lang）中就使用這一名詞。
評價
無窮維的希爾伯特空間是n維歐幾里得空間的推廣，可視為「無限維的歐幾里得空間」，是泛函分析的重要研究對象之一。在三維歐幾里得空間中，任何兩個向量之間規定了一個內積，它是建立三維歐幾里得幾何學的基礎。有了內積，就有向量的長度、兩個向量的交角和向量到直線或平面上的投影等等。這些普通而重要的幾何概念及相應的研究方法，不僅被推廣到n維空間，而且在許多不同的領域，例如積分方程、數學物理、三角級數或更一般的正交級數等理論中，被推廣到由函數構成的無限維空間上去，成為研究有關問題的有力工具。[1]