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| 平方數 |
平方數（或稱完全平方數），是指可以寫成某個整數的平方的數，即其平方根為整數的數。例如，9 = 3 × 3，9是一個平方數。
簡介
著名數學家畢達哥拉斯發現有趣奇數現象：從1開始將連續奇數相加，每次的得數正好就產生完全平方數。 如：1 + 3(=2²) + 5(=3²) + 7(=4²) + 9(=5²) + 11(=6²) + 13(=7²)……在奇數和平方數之間有着密切的重要聯繫。一個整數是完全平方數當且僅當相同數目的點能夠在平面上排成一個正方形的點陣，使得每行每列的點都一樣多。對於一個整數 n，它的平方寫成 n²。n²等於頭 n個正奇數的和。在上圖中，從1開始，第 n個平方數表示為前一個平方數加上第 n個正奇數，如 5² = 25 = 16 + 9。即第五個平方數25等於第四個平方數16加上第五個正奇數：9。每個完全平方數可以從之前的兩個平方數計算得到，遞推公式為 n² = 2(n − 1)² − (n − 2)² + 2。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。
評價
完全平方數還可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列，即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的完全平方數非常有用。例如： 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的，三個平方數之和不能表示形如 4k(8m + 7) 的數。若一個正整數可以表示因子中沒有形如 4k + 3 的素數的奇次方，則它可以表示成兩個平方數之和。平方數必定不是完全數。奇數的平方除以4餘1，偶數的平方則能被4整除。a²-b²=(a+b)(a-b)。一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的，三個平方數之和不能表示形如 4(8m+ 7) 的數。若一個正整數可以表示因數中沒有形如 4k+3 的素數的奇次方，則它可以表示成兩個平方數之和。[1]